实数的存储(一)整数

实数可以分为正数、负数,还可以分为整数、小数。计算机中的数据全是0和1组成的二进制数,没有正负号,也没有小数点。那么计算机如何存储负数和小数呢?

因为整数比小数好处理,所以本文先介绍整数,下篇文章介绍小数。

原码、补码

正整数比较好存储,用计算机中0和1组成的二进制数直接存储即可。但是负数怎么办?

因为计算机中只有0和1,没有负号,我们只好规定最高位为0代表正数、1代表负数,其他位代表数值。这种表达方式被称作原码

\begin{array} {ll}x=+1110&[x]_{原}=01110\\x=-1110&[x]_{原}=11110\\ \end{array}

但是用原码计算,涉及负数会出错,例如1+(-1)

0000 0001
1000 0001
---------
1000 0010

结果为-2。结果明显是错的。

我们用另外一种形式表示-1:

-1  = 0000 0000 - 0000 0001
    = 1111 1111

再来计算一下正数与负数的加法:

0000 0001
1111 1111
---------
0000 0000

结果为0,计算正确。这种表示负数的方式叫做补码。正数的补码与原码相同,负数的补码可以用0减去对应的正数计算

\begin{array} {ll}x=-1&[x]_{补}=1111 1111\\ \end{array}

四则运算

根据前面的内容可知,补码可以参与到正常的加法规则,并且能得到正确的结果:

2+(-2)=00000010+11111110=00000000=0

计算机中的减法其实是转换成加法的:

2-2=2+(-2)=00000010+11111110=00000000=0

那么乘法呢?

2*(-2)=00000010*11111110=11111100=-4

实验结果是可以的,或者说大多数情况可以,因为32位乘法结果应该是64位,如果结果不超过32位,就是正确的。

真的神奇,我们为加减法设计出来的补码,竟然还能按照原来的规则正确参与乘法运算。

除法呢?

(-2)/2=11111110/00000010=01111111

看来除法的结果是错的了,cpu必须为补码单独设计计算规则了。

cpu中的乘法器、除法器

cpu乘除法具体的计算过程太过复杂,我们仅简单提一下原理。详情参见《计算机组成原理》。

可以类比我们手工在草纸上计算乘法的过程,最低位先乘,高一位再乘的结果需要左移一位。其实计算乘法的过程就是查乘法表、移位、加法。

因为计算机中只有1和0,查乘法表过程可以省略,所以乘法器就是将乘法转换成移位和加法的过程。

除法同理,除法器将除法转换成了移位和减法。

posted @ 2022-05-08 15:59:51
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