高等数学考研笔记

等价无穷小与等价无穷大

很多时候“封底估算”比实际计算来的方便,因为我们只关系“大头”,而不关心对结果无关紧要的“零头”,比如:

三生三世≈10^{10}秒

宇宙至今≈10^{21}秒

极限也是同样的道理,当取极限的时候,“大头”与“零头”相差无限大,以至于“零头”对结果毫无影响,例如当a>b>0时:

\begin{align*} 
若x \rightarrow 0,&x^a+x^b \sim x^b,因为x^b是“大头”, x^a是“零头”\\
若x \rightarrow +\infty,&x^a+x^b \sim x^a,因为x^a是“大头”, x^b是“零头”
\end{align*}

“零头”称为极大无穷小,记作o(x)

常用等价无穷小

\begin{array} {|c|}
\hline
\sin x \sim x\\
\hline 
\tan x \sim x\\
\hline 
\arcsin x \sim x\\
\hline 
\arctan x \sim x\\
\hline 
\ln (1+x) \sim x\\
\hline 
e^{x}-1 \sim x\\
\hline 
1 - \cos x \sim \frac { 1 } { 2 }x ^ { 2 }\\
1 - \cos ^ { a } x \sim \frac { a} { 2 }x ^ { 2 }\\
\hline 
a^{x}-1 \sim x \ln a\\
\hline 
(1+\alpha(x))^{\beta(x)}-1\sim \alpha(x) \beta(x)\\
\hline 
\end{array}

注意:等价无穷小的定义\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1,由泰勒公式\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\cdots,知x\sin x的“大头”,“零头”-\frac{x^{3}}{3 !}对计算结果没有影响,可以忽略。但是如果不和x比,例如\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^3}\sin x中的-\frac{x^{3}}{3 !}x^3是同阶的,不能被当作“零头”忽略,所以x-\frac{x^{3}}{3 !}是“大头”,其余的是“零头”,即\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^3} = \frac{x-(x-\frac{x^{3}}{3 !})}{x^3} = \frac{1}{6}

泰勒公式

记忆小技巧:

  1. 通过等价无穷小确定第一项
  2. 如果第一步没能确定第二项符号,通过函数图像走势确定第二项符号
  3. 奇函数只有奇次项,偶函数只有偶次项,非奇非偶次数递增
  4. 太浪(tan ln)没有阶乘
    image

求导公式

\begin{array} {|c|c|}
\hline
\left( x ^ { x } \right) ^ { \prime } = ( 1 + \ln x ) x ^ { x }  \\
\hline 
\left( x ^ a \right) ^ { \prime } = a x ^ { a - 1 } \\(\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}\\ \left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}   \\
\hline  
( \csc x ) ^ { \prime } = - \csc x \cot x \\
( \sec x ) ^ { \prime } = \sec x \tan x \\
( \cot x ) ^ { \prime } = - \csc ^ { 2 } \\
( \tan x ) ^ { \prime } = \sec ^ { 2 } \\
( \cos x ) ^ { \prime } = - \sin x \\
( \sin x ) ^ { \prime } = \cos x  \\
\hline  
\left( \log _ { a } x \right) ^ { \prime } = \frac { 1 } { x \ln a } \\ \left( \ln x \right) ^ { \prime } = \frac{1}{x} \\
\hline  
\left( a ^ { x } \right) ^ { \prime } = a ^ { x } \ln a \\\left( e ^ { x } \right) ^ { \prime } = e ^ { x }  \\
\hline
\end{array}

对于反三角函数的导数难于记忆,我们可以记忆其推导方法:
y = \sin x
y^{\prime} = \frac{dy}{dx} = \cos x

x = \arcsin y
x^{\prime} =\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 x}} = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}

常用的反三角函数导数:

\begin{array} {|c|c|}
\hline 
( \operatorname { arccot } x ) ^ { \prime } = - \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } \\
( \arctan x ) ^ { \prime } = \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } \\
( \arccos x ) ^ { \prime } = - \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \\
(\arcsin x ) ^ { \prime } = \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } }  \\
\hline 
\end{array}

高阶导数

\begin{array} {|c|c|}
\hline
\left( \frac { 1 } {x} \right) ^ { ( n ) } = \frac{(-1)^nn!}{x^{n+1}} &理解每求一次导增加什么,或者写几项数学归纳法\\
\hline  
( \sin kx ) ^ { ( n ) } = k^n \sin \left( kx + n \cdot \frac { \pi } { 2 } \right)  \\
\hline 
( \cos kx ) ^ { ( n ) } = k^n \cos \left( kx + n \cdot \frac { \pi } { 2 } \right)  \\
\hline 
( u \pm v ) ^ { ( n ) } = u ^ { ( n ) } \pm v ^ { ( n ) } & 一阶导可以分别求导,高阶自然也可以\\
\hline  
( u v ) ^ { ( n ) } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } C _ { n } ^ { k } u ^ { ( k ) } v ^ { ( n - k ) }&系数按杨辉三角记忆 \\
\hline
\end{array}

抽象函数可以用数学归纳法

展开式法:
泰勒公式中含有f^{(n)}(x_0),通过比较抽象函数与具体函数的泰勒展开式,就可以确定f^{(n)}(x_0)的值。

琴生不等式

过一个凹函数上任意两点所作割线一定在这两点间的函数图象的上方,即:

tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})\geq f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right),0\leq t\leq 1.

image

如何找函数的渐近线?

铅直渐进线:
\lim_{x \rightarrow x_{0}^+} y(x)=\infty 或\lim_{x \rightarrow x_{0}^-} y(x)=\infty,则称x_0y(x)的铅直渐近线。
image

水平渐近线:
\lim _{x \rightarrow \pm \infty} y(x)=A,则称y=A为水平渐近线。
image

斜渐进线:
同一方向上,斜渐进线与水平渐近线互斥。若有水平渐近线则一定没有斜渐近线。

若要有斜渐进线,说明函数当x \rightarrow \infty时等价于一条直线,所以:

  1. 函数必须与x同阶,即:
    \lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{y(x)}{x}=a \neq 0

  2. 函数与渐近线距离极限为0,即:
    \lim _{x \rightarrow \infty}(y(x)-(a x+b))=0

image

曲率与曲率半径

曲率描述曲线的弯曲程度,当角度一定时,弧长越大曲率越小,弧长越小曲率越大,所以曲率的定义为夹角与弧长的比值:

k=\lim _{\Delta s \rightarrow 0}\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right| = |\frac{d \alpha}{d s}|

而:

y^{\prime} =\frac{d y}{d x}= \tan \alpha

\alpha=\arctan y^{\prime}

d \alpha =\frac{y^{\prime \prime}}{1+y^{\prime 2}} dx

d s =\sqrt{d x^{2}+d y^{2}} = \sqrt{1+y^{\prime 2}} d x

带入得:

k=\frac{|y^{\prime \prime}|}{\left(1+y^{\prime}\right)^{\frac{3}{2}}}

曲率半径是曲率的导数:

R = \frac{1}{k}

不定积分公式

公式 记忆技巧
image 基础公式,通过导数公式反推
image 结合导数公式记忆,ln中的元素和导数公式中的元素一样,符号也一样

image

有根号 - 死复杂 - \arcsin ~\ln(?+?)
无根号 - 太简单 - \arctan ~\ln(?)

image 直接推导吧
image

一元函数积分公式

分布积分公式

\int u \mathrm { d } v = u v - \int v \mathrm { d } u

牛顿莱布尼茨公式

\int _ { a } ^ { b } f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a )

f ( x ) = \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } f ^ { \prime } ( t ) d t + f \left( x _ { 0 } \right)

区间再现

\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { a } ^ { b } f ( a + b - x ) \mathrm { d } x

\int _ { - a } ^ { a } f ( x ) d x = \int _ { 0 } ^ { a } [ f ( x ) + f ( - x ) ] d x

三角函数

\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } f ( \sin x ) d x = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } f ( \cos x ) d x

\int _ { 0 } ^ { \pi } f ( \sin x ) d x = 2 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } f ( \sin x ) d x

\int _ { 0 } ^ { \pi } x f ( \sin x ) d x = \frac { \pi } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } f ( \sin x ) d x = \pi \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } f (\sin x ) d x

后两个公式如果cos x有绝对值或是偶次也适用

华里士公式

\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ^ { n } x d x = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cos ^ { n } x d x  = 
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { n - 1 } { n } \cdot \frac { n - 3 } { n - 2 } \cdots \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { \pi } { 2 } , \text{n为偶数}} \\ { \frac { n - 1 } { n } \cdot \frac { n - 3 } { n - 2 } \cdots \frac { 2 } { 3 } \cdot 1 , \text{n为奇数} } \end{array} \right.

积分区间0-2π

\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } f ( | \sin x | ) d x = 4 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } f ( \sin x ) d x

\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } f ( | \cos x | ) \mathrm { d } x = 4 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } f ( \cos x ) \mathrm { d } x

周期函数

\int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) d x = \int _ { a } ^ { a + T } f ( x ) d x = \int _ { 0 } ^ { T } f ( x + a ) d x

\int _ { 0 } ^ { n T } f ( x ) \mathrm { d } x = n \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x

"祖孙三代"的奇偶性,周期性

求导后奇偶性:

求导一次奇偶性改变一次

积分后奇偶性:

当f(x)是奇函数时:
image
积分相当于求x \times y,原点左边x和y都是负的,所以积分是正的。所以\int_{0}^{x} f(t) d t为偶函数。\int_{a}^{x} f(t) d t也是偶函数。

当f(x)是偶函数时:
image
积分相当于求x \times y,原点两边的积分值异号。所以\int_{0}^{x} f(t) d t为奇函数。而\int_{a}^{x} f(t) d t则不一定。

求导后周期性

f(x)以T为周期,f'(x)以T为周期。(函数的周期当然也是斜率周期)

积分后周期性

若f(x)以T为周期,则:

\int_{0}^{T}f(x)dx=0 \Longleftrightarrow \int_{a}^{x}f(t)dt以T为周期

拆分有理分式

有理分式拆分主要看分母,分母有几重因式,就拆成几项,分子比分母的因式低一阶。

例如\frac{4 x^{2}-6 x-1}{(x+1)(2 x-1)^{2}},分母有3个因式,所以拆分成:

\frac{4 x^{2}-6 x-1}{(x+1)(2 x-1)^{2}}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{2 x-1}+\frac{C}{(2 x-1)^{2}}

再例如\frac{6x+7}{(x+2)(3x^2+4x+5)^2},应该拆分为:

\frac{6x+7}{(x+2)(3x^2+4x+5)^3}= \frac{A}{x+2}+\frac{Bx+C}{3x^2+4x+5}+\frac{Dx+E}{(3x^2+4x+5)^{2}}

解参数也有技巧,例如:

\frac{x+3}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x-3)}

可以两边同乘(x-2)

\frac{x+3}{x-3}=A+\frac{B(x-2)}{x-3}

代入x=2,得\frac{5}{-1}=A

两边同乘(x-3):

\frac{x+3}{x-2}=\frac{A(x-3)}{x-2}+B

代入x=3,得\frac{6}{1}=B

正弦函数常用面积

image

反函数的导数

\frac{d x}{d y}=\frac{1}{\frac{d y}{d x}}=\frac{1}{y^{\prime}}
\frac{d^{2} x}{d y^{2}}=\frac{d}{d y}\left(\frac{d x}{d y}\right)=\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{y^{\prime}}\right) \cdot \frac{d x}{d y}=\frac{-y^{\prime \prime}}{y^{\prime 2}} \cdot \frac{1}{y^{\prime}}=-\frac{y^{\prime \prime}}{\left(y^{\prime}\right)^{3}}

反常积分

两用情况是反常积分:

  1. 积分区间无限
  2. 积分区间有第二类间断点

判敛方法

  1. 将反常积分拆成,每个积分只含有一个奇点
  2. 与下面3种p积分比较

\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { x ^ { p } } d x \left\{ \begin{array} { c c } 0 < p < 1 \text{时,收敛} \\ p \geqslant 1 \text{时,发散} \end{array} \right.

\int _ { 1 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { x ^ { p } } d x \left\{ \begin{array} { l } p > 1 \text{时,收敛}\\ p \leqslant 1 \text{时,发散} \end{array} \right.

x = \ln x,得

\int _ { e } ^ { + \infty } \frac { 1 } { x \ln ^ { p } x } d x \left\{ \begin{array} { l } p > 1 \text{时,收敛} \\ p \leqslant 1  \text{时,发散}\end{array} \right.

一元函数微积分 vs 多元函数微积分

极限的等价无穷小和等价无穷大可以化简表达式,例如当x \rightarrow 0时:

\begin{aligned} \sin x &\sim x\\
x^6+1-\cos x &\sim \frac{1}{2}x^2\end{aligned}

能不能用极限的这个性质来化简函数呢?可以!我们把函数划分成很多段,每段长度为\Delta x,当\Delta x \rightarrow 0时,我们就可以用极限的等价无穷小化简函数啦,这就是微分。积分是微分的逆运算,根据一个化简后的函数,求出化简前的函数。

一元函数微积分 多元函数微积分
image image
函数增量 \begin{aligned} \Delta y &=(x+\Delta x)^{2}-x^{2} \\ &=2x\Delta x+(\Delta x)^2\\ &=A \Delta x+o(\Delta x) \end{aligned} \begin{aligned} \Delta z &=(x-\Delta x)(y+\Delta y)-x y \\ &=y \Delta x+x \Delta y+\Delta x \Delta y \\ &=A \Delta x+B\Delta y+o\left(\sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2}}\right) \end{aligned}
微分(原函数的等价无穷小) 将曲线化简成直线
dy = Adx
将曲面化简成平面
dz=\frac{\partial z}{\partial x} d x+\frac{\partial z}{\partial y} d y
积分 用直线求曲线
y = A\int dx
用平面求曲面
z=\int \int \frac{\partial z}{\partial x} d x+\frac{\partial z}{\partial y} d y
可微的充要条件 能写成"大头"和“零头”的形式就能用等价无穷小,从而可微,即导数存在 能写成"大头"和“零头”的形式就能用等价无穷小,从而可微,即:
\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0} \frac { \Delta z - A \Delta x - B \Delta y } { \sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2}} } = 0

注:
因为0 \leq \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0} \left|\frac { \Delta x\Delta y } { \sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2}} }\right| \leq \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0} \frac{\sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2}}}{2} = 0,所以\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0} \frac { \Delta x\Delta y } { \sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2}} } = 0,即\Delta x\Delta y = o\left(\sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2}}\right)。还可以这样理解,\sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2}}相当于半径,是一阶,而\Delta x\Delta y是二阶,所以\Delta x\Delta y\sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2}}的等价无穷小。

求导公式的逆用

微分比较复杂的公式只有两个:

(uv)^{\prime} = u^{\prime}v +uv^{\prime}
(\frac{u}{v})^{\prime} = \frac{u^{\prime}v -uv^{\prime}}{v^2}

积分是微分的逆运算,复杂的积分必然是上面这两个公式的逆运算。

分部积分,就是将乘积求导公式移项再积分:
\int u \mathrm { d } v = u v - \int v \mathrm { d } u

中值定理找原函数:
f^{\prime}(x)-f(x)其实是f(x)e^{-x}的求导结果提了个参数

一阶微分方程,左边是一个乘积的求导结果:
y^{\prime}+p(x)y=q(x)

posted @ 2020-12-15 17:22:10
评论加载中...

发表评论