等价无穷小与等价无穷大

很多时候“封底估算”比实际计算来的方便，因为我们只关系“大头”，而不关心对结果无关紧要的“零头”，比如：

极限也是同样的道理，当取极限的时候，“大头”与“零头”相差无限大，以至于“零头”对结果毫无影响。

当时：

因为是“大头”，是“零头”。

当时：

因为是“大头”，是“零头”，当时的“零头”称为极大无穷小，记作。所以也可以写成:

常用等价无穷小

通过对的逆用，可得到：

这三个等价无穷小的结论要求会证明，下面是个例子：

在时，的高次项会被忽略，只关注的低次项即可。这也是等价无穷小的原理，只留了的低次项。例如，的等价无穷小为：

但是如果分子或分母中出现了加减法，的低次项可能会改变，所以就不能直接用等价无穷小，例如：

分子中被加减法抵消掉了，成为分子中最低次项，这里要用泰勒公式：

对于乘除关系，不存在低次项被加减抵消的情况，所以可以直接用等价无穷小。

总的规则是，乘除关系可以直接用等价无穷小替换；加减关系应该使用泰勒公式。

泰勒公式只需要熟记这3个公式：

可以由求导得出，可以由和多项式除法得出：

由可得和:

由积分可得:

和与和第二项差了一个符号：

对于反三角函数的导数难于记忆，我们可以记忆其推导方法：

常用的反三角函数导数：

还有几个不常用的，用的时候现推导也行。