等价无穷小与等价无穷大

很多时候“封底估算”比实际计算来的方便，因为我们只关系“大头”，而不关心对结果无关紧要的“零头”，比如：

$三生三世≈10^{10}秒$

$宇宙至今≈10^{21}秒$

极限也是同样的道理，当取极限的时候，“大头”与“零头”相差无限大，以至于“零头”对结果毫无影响，例如当 $a>b>0$ 时：

$\begin{align*} 若x \rightarrow 0，&x^a+x^b \sim x^b，因为x^b是“大头”， x^a是“零头”\\ 若x \rightarrow +\infty，&x^a+x^b \sim x^a，因为x^a是“大头”， x^b是“零头” \end{align*}$

“零头”称为极大无穷小，记作 $o(x)$ 。

常用等价无穷小

$\begin{array} {|c|} \hline \sin x \sim x\\ \hline \tan x \sim x\\ \hline \arcsin x \sim x\\ \hline \arctan x \sim x\\ \hline \ln (1+x) \sim x\\ \hline e^{x}-1 \sim x\\ \hline 1 - \cos x \sim \frac { 1 } { 2 }x ^ { 2 }\\ 1 - \cos ^ { a } x \sim \frac { a} { 2 }x ^ { 2 }\\ \hline a^{x}-1 \sim x \ln a\\ \hline (1+\alpha(x))^{\beta(x)}-1\sim \alpha(x) \beta(x)\\ \hline \end{array}$

注意：等价无穷小的定义 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ，由泰勒公式 $\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\cdots$ ，知 $x$ 是 $\sin x$ 的“大头”，“零头” $-\frac{x^{3}}{3 !}$ 对计算结果没有影响，可以忽略。但是如果不和x比，例如 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^3}$ ， $\sin x$ 中的 $-\frac{x^{3}}{3 !}$ 与 $x^3$ 是同阶的，不能被当作“零头”忽略，所以 $x-\frac{x^{3}}{3 !}$ 是“大头”，其余的是“零头”，即 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^3} = \frac{x-(x-\frac{x^{3}}{3 !})}{x^3} = \frac{1}{6}$ 。

泰勒公式

记忆小技巧：

通过等价无穷小确定第一项
如果第一步没能确定第二项符号，通过函数图像走势确定第二项符号
奇函数只有奇次项，偶函数只有偶次项，非奇非偶次数递增
太浪(tan ln)没有阶乘

$\begin{array} {|c|c|c|c|c|} \hline 泰勒公式& 1. 通过等价无穷小确定第一项&2.观函数走势确定第二项符号&3.奇偶性&4.太浪\\ \hline e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots& e^{x}-1\sim x&已知&非奇非偶次数递增&非太浪有阶乘\\ \hline \sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\cdots & \sin x\sim x &\sin x走势不如x，第二项符号为负&奇函数只有奇次项&非太浪有阶乘\\ \hline \cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots & 1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^2 &已知&偶函数只有偶次项&非太浪有阶乘\\ \hline \tan x=x+\frac{x^{3}}{3}+\cdots & \tan x\sim x &\tan x走势比x强，第二项符号为正&奇函数只有奇次项& 太浪无阶乘 \\ \hline \arcsin x=x+\frac{x^{3}}{3 !}+\cdots & \arcsin x\sim x &\arcsin x走势比x强，第二项符号为正&奇函数只有奇次项& 非太浪有阶乘\\ \hline \arctan x=x-\frac{x^{3}}{3}+\cdots & \arctan x\sim x &\arctan x走势不如x，第二项符号为负&奇函数只有奇次项& 太浪无阶乘\\ \hline \ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\cdots & \ln (1+x) \sim x &\ln (1+x)走势不如x，第二项符号为负&非奇非偶次数递增& 太浪无阶乘\\ \hline (1+x)^{a}=1+a x+\frac{a(a-1)}{2 !} x^{2}+\cdots & (1+x)^{a} -1 \sim ax &已知&非奇非偶次数递增&非太浪有阶乘\\ \hline \frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots & 等比数列求和公式 &或者特别记忆一下&-&-\\ \hline \frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}+\cdots & 将上个公式的x换为-x &或者由\ln (1+x)求导得出&-&-\\ \hline \end{array}$

求导公式

$\begin{array} {|c|c|} \hline \left( x ^ { x } \right) ^ { \prime } = ( 1 + \ln x ) x ^ { x } \\ \hline \left( x ^ a \right) ^ { \prime } = a x ^ { a - 1 } \\(\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}\\ \left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}} \\ \hline ( \operatorname { arccot } x ) ^ { \prime } = - \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } \\ ( \arctan x ) ^ { \prime } = \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } \\ ( \arccos x ) ^ { \prime } = - \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \\ (\arcsin x ) ^ { \prime } = \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \\ \hline ( \csc x ) ^ { \prime } = - \csc x \cot x \\ ( \sec x ) ^ { \prime } = \sec x \tan x \\ ( \cot x ) ^ { \prime } = - \csc ^ { 2 } \\ ( \tan x ) ^ { \prime } = \sec ^ { 2 } \\ ( \cos x ) ^ { \prime } = - \sin x \\ ( \sin x ) ^ { \prime } = \cos x \\ \hline \left( \log _ { a } x \right) ^ { \prime } = \frac { 1 } { x \ln a } \\ \left( \ln x \right) ^ { \prime } = \frac{1}{x} \\ \hline \left( a ^ { x } \right) ^ { \prime } = a ^ { x } \ln a \\\left( e ^ { x } \right) ^ { \prime } = e ^ { x } \\ \hline \end{array}$

高阶导数

$\begin{array} {|c|c|} \hline \left( \frac { 1 } {x} \right) ^ { ( n ) } = \frac{(-1)^nn!}{x^{n+1}} &理解每求一次导增加什么，或者写几项数学归纳法\\ \hline ( \sin kx ) ^ { ( n ) } = k^n \sin \left( kx + n \cdot \frac { \pi } { 2 } \right) \\ \hline ( \cos kx ) ^ { ( n ) } = k^n \cos \left( kx + n \cdot \frac { \pi } { 2 } \right) \\ \hline ( u \pm v ) ^ { ( n ) } = u ^ { ( n ) } \pm v ^ { ( n ) } & 一阶导可以分别求导，高阶自然也可以\\ \hline ( u v ) ^ { ( n ) } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } C _ { n } ^ { k } u ^ { ( k ) } v ^ { ( n - k ) }&系数按杨辉三角记忆 \\ \hline \end{array}$

抽象函数可以用数学归纳法

展开式法：
泰勒公式中含有 $f^{(n)}(x_0)$ ，通过比较抽象函数与具体函数的泰勒展开式，就可以确定 $f^{(n)}(x_0)$ 的值。

琴生不等式

过一个凹函数上任意两点所作割线一定在这两点间的函数图象的上方，即：

$tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})\geq f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right),0\leq t\leq 1.$

如何找函数的渐近线？

铅直渐进线：
$\lim_{x \rightarrow x_{0}^+} y(x)=\infty 或\lim_{x \rightarrow x_{0}^-} y(x)=\infty$ ，则称 $x_0$ 为 $y(x)$ 的铅直渐近线。

水平渐近线：
$\lim _{x \rightarrow \pm \infty} y(x)=A$ ，则称 $y=A$ 为水平渐近线。

斜渐进线：
同一方向上，斜渐进线与水平渐近线互斥。若有水平渐近线则一定没有斜渐近线。

若要有斜渐进线，说明函数当 $x \rightarrow \infty$ 时等价于一条直线，所以：

函数必须与x同阶，即：
$\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{y(x)}{x}=a \neq 0$
函数与渐近线距离极限为0，即：
$\lim _{x \rightarrow \infty}(y(x)-(a x+b))=0$

曲率与曲率半径

曲率描述曲线的弯曲程度，当角度一定时，弧长越大曲率越小，弧长越小曲率越大，所以曲率的定义为夹角与弧长的比值：

$k=\lim _{\Delta s \rightarrow 0}\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right| = |\frac{d \alpha}{d s}|$

而：

$y^{\prime} =\frac{d y}{d x}= \tan \alpha$

$\alpha=\arctan y^{\prime}$

$d \alpha =\frac{y^{\prime \prime}}{1+y^{\prime 2}} dx$

$d s =\sqrt{d x^{2}+d y^{2}} = \sqrt{1+y^{\prime 2}} d x$

带入得：

$k=\frac{|y^{\prime \prime}|}{\left(1+y^{\prime}\right)^{\frac{3}{2}}}$

曲率半径是曲率的导数：

$R = \frac{1}{k}$

不定积分公式

$\begin{array} {|c|} \hline \int x^{a} d x=\frac{1}{a+1} x^{a+1}+C(a \neq-1) \\ \hline \int \frac{d x}{x}=\ln |x|+C(x \neq 0) \\ \hline \int a^{x} \mathrm{d} x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C(a>0, a \neq 1) \\ \int e^{x} d x=e^{x}+C \\ \hline \int \sin x d x=-\cos x+C \\ \int \cos x d x=\sin x+C\\ \int \tan x \mathrm{d} x=-\ln |\cos x|+C\\ \int \cot x d x=\ln |\sin x|+C\\ \int \sec x d x=\ln |\sec x+\tan x|+C\\ \int \csc x d x=\ln |\csc x-\cot x|+C\\ \int \sec ^{2} x d x=\tan x+C\\ \int \csc ^{2} x d x=-\cot x+C\\ \int \sec x \tan x d x=\sec x+C\\ \int \csc x \cot x d x=-\csc x+C\\ \hline \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin x+C\\ \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin \frac{x}{a}+C(a>0)\\ \hline \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\arctan x+C\\ \int \frac{d x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C(a \neq 0)\\ \hline \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln (x+\sqrt{x^{2}+a^{2}})+C\\ \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\ln |x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|+C\\ \hline \int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C\\ \hline \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x=\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a}+\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+C\\ \hline \int \sin ^{2} x dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2 x}{4}+C\\ \int \cos ^{2} x dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2 x}{4}+C\\ \hline \end{array}$

一元函数积分公式

分布积分公式

$\int u \mathrm { d } v = u v - \int v \mathrm { d } u$

牛顿莱布尼茨公式

$\int _ { a } ^ { b } f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a )$

$f ( x ) = \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } f ^ { \prime } ( t ) d t + f \left( x _ { 0 } \right)$

区间再现

$\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { a } ^ { b } f ( a + b - x ) \mathrm { d } x$

$\int _ { - a } ^ { a } f ( x ) d x = \int _ { 0 } ^ { a } [ f ( x ) + f ( - x ) ] d x$

三角函数

$\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } f ( \sin x ) d x = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } f ( \cos x ) d x$

$\int _ { 0 } ^ { \pi } f ( \sin x ) d x = 2 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } f ( \sin x ) d x$

$\int _ { 0 } ^ { \pi } x f ( \sin x ) d x = \frac { \pi } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } f ( \sin x ) d x = \pi \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } f (\sin x ) d x$

后两个公式如果cos x有绝对值或是偶次也适用

华里士公式

$\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ^ { n } x d x = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cos ^ { n } x d x = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { n - 1 } { n } \cdot \frac { n - 3 } { n - 2 } \cdots \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { \pi } { 2 } , \text{n为偶数}} \\ { \frac { n - 1 } { n } \cdot \frac { n - 3 } { n - 2 } \cdots \frac { 2 } { 3 } \cdot 1 , \text{n为奇数} } \end{array} \right.$

积分区间0-2π

$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } f ( | \sin x | ) d x = 4 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } f ( \sin x ) d x$

$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } f ( | \cos x | ) \mathrm { d } x = 4 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } f ( \cos x ) \mathrm { d } x$

周期函数

$\int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) d x = \int _ { a } ^ { a + T } f ( x ) d x = \int _ { 0 } ^ { T } f ( x + a ) d x$

$\int _ { 0 } ^ { n T } f ( x ) \mathrm { d } x = n \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x$

"祖孙三代"的奇偶性，周期性

求导后奇偶性：

求导一次奇偶性改变一次

积分后奇偶性：

当f(x)是奇函数时：

积分相当于求 $x \times y$ ，原点左边x和y都是负的，所以积分是正的。所以 $\int_{0}^{x} f(t) d t$ 为偶函数。 $\int_{a}^{x} f(t) d t$ 也是偶函数。

当f(x)是偶函数时：

积分相当于求 $x \times y$ ，原点两边的积分值异号。所以 $\int_{0}^{x} f(t) d t$ 为奇函数。而 $\int_{a}^{x} f(t) d t$ 则不一定。

求导后周期性

f(x)以T为周期，f’(x)以T为周期。(函数的周期当然也是斜率周期)

积分后周期性

若f(x)以T为周期，则：

$\int_{0}^{T}f(x)dx=0 \Longleftrightarrow \int_{a}^{x}f(t)dt以T为周期$

拆分有理分式

形如 $\frac { P _ { n } ( x ) } { Q _ { m } ( x ) }$ ,先将 $Q_{m}(x)$ 因式分解，然后按照如下方法产生拆分后的项
a. $Q_{m}(x)$ 的一次单因式 $(a x+b)$ 产生一项 $\frac{A}{a x+b}$ .
b. $Q_{m}(x)$ 的 $k$ 重因式 $(a x+b)^{k}$ 产生 $k$ 项.分別为 $\frac{A_{1}}{a x+b}+\frac{A_{2}}{(a x+b)^{2}}+\cdots+\frac{A_{k}}{(a x+b)^{k}}$ .
c. $Q_{m}(x)$ 的二次单因式 $p x^{2}+q x+r$ 产生一项 $\frac{A x+B}{px^{2}+q x+r}$
d. $Q_{m}(x)$ 的 $k$ 重二次因式 $\left(p x^{2}+q x+r\right)^{k}$ 产生 $k$ 项

$\frac{A_{1} x+B_{1}}{p x^{2}+q x+r}+\frac{A_{2} x+B_{2}}{\left(p x^{2}+q x+r\right)^{2}}+\cdots+\frac{A_{k} x+B_{k}}{\left(p x^{2}+q x+r\right)^{k}}$

正弦函数常用面积

反常积分

两用情况是反常积分：

积分区间无限
积分区间有第二类间断点

判敛方法

将反常积分拆成，每个积分只含有一个奇点
与下面3种p积分比较

$\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { x ^ { p } } d x \left\{ \begin{array} { c c } 0 < p < 1 \text{时，收敛} \\ p \geqslant 1 \text{时，发散} \end{array} \right.$

$\int _ { 1 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { x ^ { p } } d x \left\{ \begin{array} { l } p > 1 \text{时，收敛}\\ p \leqslant 1 \text{时，发散} \end{array} \right.$

令 $x = \ln x$ ，得

$\int _ { e } ^ { + \infty } \frac { 1 } { x \ln ^ { p } x } d x \left\{ \begin{array} { l } p > 1 \text{时，收敛} \\ p \leqslant 1 \text{时，发散}\end{array} \right.$

一元函数微积分 vs 多元函数微积分

极限的等价无穷小和等价无穷大可以化简表达式，例如当 $x \rightarrow 0$ 时:

$\begin{aligned} \sin x &\sim x\\ x^6+1-\cos x &\sim \frac{1}{2}x^2\end{aligned}$

能不能用极限的这个性质来化简函数呢？可以！我们把函数划分成很多段，每段长度为 $\Delta x$ ，当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，我们就可以用极限的等价无穷小化简函数啦，这就是微分。积分是微分的逆运算，根据一个化简后的函数，求出化简前的函数。

	一元函数微积分	多元函数微积分

函数增量	$\begin{aligned} \Delta y &=(x+\Delta x)^{2}-x^{2} \\ &=2x\Delta x+(\Delta x)^2\\ &=A \Delta x+o(\Delta x) \end{aligned}$	$\begin{aligned} \Delta z &=(x-\Delta x)(y+\Delta y)-x y \\ &=y \Delta x+x \Delta y+\Delta x \Delta y \\ &=A \Delta x+B\Delta y+o\left(\sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2}}\right) \end{aligned}$
微分(原函数的等价无穷小)	将曲线化简成直线 $dy = Adx$	将曲面化简成平面 $dz=\frac{\partial z}{\partial x} d x+\frac{\partial z}{\partial y} d y$
积分	用直线求曲线 $y = A\int dx$	用平面求曲面 $z=\int \int \frac{\partial z}{\partial x} d x+\frac{\partial z}{\partial y} d y$
可微的充要条件	能写成"大头"和“零头”的形式就能用等价无穷小，从而可微，即导数存在	能写成"大头"和“零头”的形式就能用等价无穷小，从而可微，即： $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0} \frac { \Delta z - A \Delta x - B \Delta y } { \sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2}} } = 0$

注：
因为 $0 \leq \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0} \left|\frac { \Delta x\Delta y } { \sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2}} }\right| \leq \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0} \frac{\sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2}}}{2} = 0$ ，所以 $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0} \frac { \Delta x\Delta y } { \sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2}} } = 0$ ，即 $\Delta x\Delta y = o\left(\sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2}}\right)$ 。还可以这样理解， $\sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2}}$ 相当于半径，是一阶，而 $\Delta x\Delta y$ 是二阶,所以 $\Delta x\Delta y$ 是 $\sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2}}$ 的等价无穷小。