概率

概率、条件概率、排列组合、组合概率等基本知识。这些都是高中学过的。

引入随机变量

二项分布，典型的例子就是置硬币，正面朝上的概率是p，置n次，求k次正面向上的概率。
和超几何分布，典型的例子是抽样，箱子里r个红w个黑，无放回抽n次，抽到红球的概率。

从二项分布和超几何分布，我们可以看到，我们经常求的概率不是样本空间中的一个样本的概率，而是很多样本的概率和。例如，二项分布中P(k次正面向上)，代表了样本空间中很多样本的概率相加。
定义一个值到样本空间中样本的映射函数，这个函数被称为随机变量。
例如:定义X为成功k次的随机变量，P(成功k次)就可以写成P(X=k)。

随机变量

概率密度函数
累积分布函数

联合概率密度函数
联合累积分布函数
随机变量的和、商、积、最大值、最小值的概率密度函数

联合概率、随机变量的组合这里最容易出题，因为容易和微积分联系到一起。我记着有个叫分布函数法的专门处理这里的问题。

常见分布及其数字特征

二项分布和超几何分布

柏松分布，是二项分布时的结果。

正态分布，是二项分布时的结果。

中心极限定理，说的是同分布的n个随机变量的平均值，服从正态分布。后面区间估计和假设检验就是根据这个定理来的。

模型参数估计

极大似然估计
矩估计
无偏估计，这里我们证明一下方差S的定义

区间估计

根据中心极限定理有

根据标准正态分布表，可知a和b：

于是我们可以推导出

于是的区间就出来了。

假设检验

假设检验也是根据中心极限定理来的

假设检验的时候和都是已知的，所以大概率应该落在标准正态分布的中心位置，此时我们接受，如果落在正态分布的边缘，我们就拒绝。原理大概如此，不过根据的定义可以分成三种情况：

t检验

前面区间估计和假设检验都是方差已知的情况。但很多时候模型的方差也是未知的，我们需要根据抽样数据估计模型的方差。

根据中心极限定理

但是用替换还服从标准正态分布吗？

这里有一个故事。很长时间数学家们都认为替换后还是服从标准正态分布的，但是一位在葡萄园酿酒的人在实践中发现，并不服从标准正态分布，它服从一个与正态分布很像的分布叫t分布。这个结论是一个先从实践中发现结论，后来科学家补充的证明过程。

对的区间估计和假设检验过程，与方差已知的过程完全一致，只不过将标准正态分布替换成了t分布。

方差未知的时候，我们还需要对方差进行区间估计和假设检验：

对的区间估计和假设检验过程，和前面也一样。