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考前背一背，喝前摇一摇

技巧

\frac{1}{x(N-x)}=\frac{1}{N} \cdot \frac{x+N-x}{x(N-x)}

排列Arrangement

从n个数中取k个数有几种不同的取法？

第1个数有n种取法
第2个数有n-1种取法
......
第k个数有n-k种取法

所以一共有n(n-1)(n-2)...(n-k)种取法，记为：
A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}

老教材和国外用P表示

组合Combination

也是从n个数中取k个数，与排列不同的是，排列是将这k个数的不同排列算不同的情况，组合将这k个数的不同排列算同一种情况

每组数按照不同的排列有k!种情况，每组数只算一次，只需将排列数除以k!即可，记为：
C_n^k =\frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{(n-k)!k!}

正弦和余弦的二倍角公式

\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha

\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=1-2 \sin ^{2} \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1

常用不等式

\sin x < x \quad ( x > 0 )

e ^ { x } \geqslant x + 1

\frac { 1 + x } { e ^ { x } } \leq 1

x - 1 \geq \ln x

x \geq \ln ( 1 + x )

几何平均数小于等于算术平均数
\sqrt { a b } \leq \frac { a + b } { 2 }

令 a=a^2,b=b^2 ，得
a b \leq \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 }

令 a=\frac{1}{a},b=\frac{1}{b} ，得
\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b}

扩展到多元：
\sqrt[4]{a b c d} \leq \frac{a+b+c+d}{4}

三角函数诱导公式

\begin{array} {|c|} \hline 奇变偶不变，符号看象限 \\ \hline \sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x \\ \hline \cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x \\ \hline \tan \left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\cot x \\ \hline \sin (\pi+x)=-\sin x \\ \hline \cos (\pi+x)=-\cos x \\ \hline \tan (\pi+x)=\tan x \\ \hline \end{array}

符号看的是变之前的

等差数列，等比数列的通项公式和前n项和

a _ { n } = a _ { 1 } + ( n - 1 ) d

S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}

a _ { n } = a _ { 1 } r ^ { n - 1 }

S_{n}=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{a_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q},} & {q \neq 1} \\ {n a_{1},} & {q=1}\end{array}\right.

数学归纳法

第一数归

  1. 验证n=1成立
  2. 设第n=k成立
  3. 证第n=k+1成立

适用于 F(D_n,D_{n-1})=0

第二数归

  1. 验证n=1,2成立
  2. 设第n<k成立
  3. 证第n=k成立

适用于 F(D_n,D_{n-1},D_{n-2})=0

穿针引线法

  1. 所有x的系数相乘：正：右上穿负：右下穿
  2. 奇过偶切(鸡过我切)

比较增长速度

x !
x^{x}
a^{x}
x^{\beta}
\ln ^{\alpha} x

\ln ^{\alpha} x << x^{\beta} << a^{x} << x !<< x^{x}

极限常用结论

\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}}=

\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}}=\max \left\{a_{i}\right\}

\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1

\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1

二项展开公式

( a + b ) ^ { n } = c _ { n } ^ { 0 } a ^ { n } + c _ { n } ^ { 1 } a ^ { n - 1 } b + \cdots + c_ { n } ^ { n } b ^ { n}

可积与原函数的关系

可积不一定有原函数，因为存在第一类间断点的函数可积，但是没有原函数

posted @ 2024-09-19 02:22:49
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