多元函数微分学

方向导数、梯度

一元函数的导数表示表示斜率。推广到多元后,一个点四面八方都有斜率,如果我们想表达这个点沿着l = \{ \cos \alpha , \cos \beta\}方向上的斜率,用方向导数:

\frac { \partial u } { \partial l} = \frac { \partial u } { \partial x } \cos \alpha + \frac { \partial u } { \partial y } \cos \beta

沿着哪个方向的导数最大?方向导数可以写成两个向量的数量积的形式:

\begin{array} {ll}
\frac { \partial u } { \partial l} &= \frac { \partial u } { \partial x } \cos \alpha + \frac { \partial u } { \partial y } \cos \beta \\
&=(\frac { \partial u } { \partial x },\frac { \partial u } { \partial y })(\cos \alpha,\cos \beta) \\
&= \sqrt{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}}\cdot 1 \cdot \cos \theta
\end{array}

从上式可以看出,方向导数沿着向量(\frac { \partial u } { \partial x },\frac { \partial u } { \partial y })的方向最大,且最大值为\sqrt{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}}

我们将方向导数最大的方向向量定义为梯度:

\text{grad}\; f = (\frac { \partial u } { \partial x },\frac { \partial u } { \partial y })

二元函数的二阶泰勒展开式

函数f(x, y) 在点(x_{0}, y_{0})处的二阶泰勒展开式为:

f\left(x, y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)+\left(f_{x}^{\prime}, f_{y}^{\prime}\right)\left(\begin{array}{c}
\Delta x \\
\Delta y
\end{array}\right)+\frac{1}{2}(\begin{array}{cc}\Delta x & \Delta y\end{array})
\left(\begin{array}{cc}
f_{x x}^{\prime \prime} & f_{x y}^{\prime \prime} \\
f_{y x}^{\prime \prime} & f_{y y}^{\prime \prime}
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
\Delta x \\
\Delta y
\end{array}\right)+R_{2}

无条件极值

\text { (1)(正定) } \quad \text { 当 }\left.f_{x x}^{\prime \prime}\right|_{X_{0}}>0 \text { 且 }\left|\begin{array}{cc}
f_{x x}^{\prime \prime} & f_{x y}^{\prime \prime} \\
f_{y x}^{\prime \prime} & f_{y y}^{\prime \prime}
\end{array}\right|_{X_{0}}>0 \text { 时, } f(x, y)>f\left(x_{0}, y_{0}\right), f\left(x_{0}, y_{0}\right) \text { 为极小值.  }

\text { (2)(负定) } \quad \text { 当 }\left.f_{x x}^{\prime \prime}\right|_{X_{0}}<0 \text { 且 }\left|\begin{array}{ll}
f_{x x}^{\prime \prime} & f_{x y}^{\prime \prime} \\
f_{y x}^{\prime \prime} & f_{y y}^{\prime \prime}
\end{array}\right|_{X_{0}}>0 \text { 时 }, f(x, y)<f\left(x_{0}, y_{0}\right), f\left(x_{0}, y_{0}\right) \text { 为极大值。 }

\text { (3) 当 }\left|\begin{array}{ll}
f_{x}^{\prime \prime} & f_{x y}^{\prime \prime} \\
f_{y x}^{\prime \prime} & f_{y y}^{\prime \prime}
\end{array}\right|_{X_{0}}<0 \text { 时,二次型变号,非极值点. }

无条件极值也会给一个条件,是函数的定义域。例如:求g(x,y)4x^2+y^2<25上的极值

条件极值

f(x, y)=0在约束条件\varphi(x, y)=0下的极值:

注意:能将条件代入从而消掉一个变量的,直接化为一元函数更简单。

如果能将\varphi(x, y)=0的x或y解出来的话,代入f(x, y)=0化为一元函数求极值。

如果不能解出x或y解:

第一步:建立拉格朗日方程:

L(x, y)=f(x, y)+\lambda \varphi(x, y)

第二步,分别对x,y和\lambda求偏导,得到一个方程组:

\left\{\begin{array}{l}
f_{x}^{\prime}+\lambda \varphi_{x}^{\prime}=0 \\
f_{y}^{\prime}+\lambda \varphi_{y}^{\prime}=0 \\
\varphi(x, y)=0
\end{array}\right.

第三步,解方程组得到几组解,根据实际情况或带入原方程得到最优解

解方程组的方法:
1.消\lambda
3.观察法
4.字母的轮换对称性,如果有两个字母对换后不影响结果,那么这两个字母相等

函数求导的公式法

z=z(x,y),对于函数:

e^{x+2y+3z}+xyz=1

z_x^{\prime}。我们可以按复合函数求导法则来计算:

e^{x+2 y+3 z}\left(1+3 z^{\prime}_x\right)+y z+x y z^{\prime}_x=0

z^{\prime}_x=-\frac{y z+e^{x+2 y+3 z}}{3 e^{x+2 y+3 z}+x y}

根据复合函数求导法则可以推导出更简便的求导公式:

\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}^{\prime}}{F_{z}^{\prime}},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}^{\prime}}{F_{z}^{\prime}}

用上述公式求偏导数,无需关心复合的问题,将所有变量都看成独立的:

\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{y z+e^{x+2 y+3 z}}{3 e^{x+2 y+3 z}+x y}

对于方程组来说,也可以使用公式来求解:

\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}

\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, x)}}{\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}}

驻点、拐点、极值点

驻点就是斜率为0的点,包括拐点和极值点。

拐点是凹凸性发生改变的点,在该点的左右两侧二阶导数异号。即二阶导数等于0,三阶导数不等于0的点(三阶导数为0是常函数)。

极值点有三种方法辨别:

  1. 左右两边导数异号。
  2. 导数为0,二阶导数不为0。
  3. 根据泰勒公式判断。

全微分方程

全微分方程其实就是多元函数的微分方程,所以我们可以对比微分方程来学习:

一元函数 多元函数
微分 dy \mathrm{d} u=P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y
微分方程 y^{\prime}+p(x)y=q(x) P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0
莱布尼茨公式 \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } f ^ { \prime } ( t ) d t = f ( x ) - f \left( x _ { 0 } \right) \int _ { \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right) } ^ { ( x , y ) } P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = u ( x , y ) - u ( x_ { 0 } , y_ { 0 })
积分 \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } f ^ { \prime } ( t ) d t 是定积分 \int _ { \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right) } ^ { ( x , y ) } P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y 是曲线积分

全微分方程通常都是一阶的,只需要一次还原即可求解。一般有三种方法求解:

posted @ 2021-07-15 19:09:46
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