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多元函数微分学

方向导数、梯度

一元函数的导数表示表示斜率。推广到多元后，一个点四面八方都有斜率，如果我们想表达这个点沿着 l = \{ \cos \alpha , \cos \beta\} 方向上的斜率，用方向导数：

\frac { \partial u } { \partial l} = \frac { \partial u } { \partial x } \cos \alpha + \frac { \partial u } { \partial y } \cos \beta

沿着哪个方向的导数最大？方向导数可以写成两个向量的数量积的形式：

\begin{array} {ll}\frac { \partial u } { \partial l} &= \frac { \partial u } { \partial x } \cos \alpha + \frac { \partial u } { \partial y } \cos \beta \\ &=(\frac { \partial u } { \partial x },\frac { \partial u } { \partial y })(\cos \alpha,\cos \beta) \\ &= \sqrt{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}}\cdot 1 \cdot \cos \theta \end{array}

从上式可以看出，方向导数沿着向量 (\frac { \partial u } { \partial x },\frac { \partial u } { \partial y }) 的方向最大，且最大值为 \sqrt{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}}

我们将方向导数最大的方向向量定义为梯度：

\text{grad}\; f = (\frac { \partial u } { \partial x },\frac { \partial u } { \partial y })

二元函数的二阶泰勒展开式

函数 f(x, y) 在点 (x_{0}, y_{0}) 处的二阶泰勒展开式为：

f\left(x, y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)+\left(f_{x}^{\prime}, f_{y}^{\prime}\right)\left(\begin{array}{c} \Delta x \\ \Delta y \end{array}\right)+\frac{1}{2}(\begin{array}{cc}\Delta x & \Delta y\end{array}) \left(\begin{array}{cc} f_{x x}^{\prime \prime} & f_{x y}^{\prime \prime} \\ f_{y x}^{\prime \prime} & f_{y y}^{\prime \prime} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \Delta x \\ \Delta y \end{array}\right)+R_{2}

无条件极值

\text { (1)(正定) } \quad \text { 当 }\left.f_{x x}^{\prime \prime}\right|_{X_{0}}>0 \text { 且 }\left|\begin{array}{cc} f_{x x}^{\prime \prime} & f_{x y}^{\prime \prime} \\ f_{y x}^{\prime \prime} & f_{y y}^{\prime \prime} \end{array}\right|_{X_{0}}>0 \text { 时, } f(x, y)>f\left(x_{0}, y_{0}\right), f\left(x_{0}, y_{0}\right) \text { 为极小值. }

\text { (2)(负定) } \quad \text { 当 }\left.f_{x x}^{\prime \prime}\right|_{X_{0}}<0 \text { 且 }\left|\begin{array}{ll} f_{x x}^{\prime \prime} & f_{x y}^{\prime \prime} \\ f_{y x}^{\prime \prime} & f_{y y}^{\prime \prime} \end{array}\right|_{X_{0}}>0 \text { 时 }, f(x, y)<f\left(x_{0}, y_{0}\right), f\left(x_{0}, y_{0}\right) \text { 为极大值。 }

\text { (3) 当 }\left|\begin{array}{ll} f_{x}^{\prime \prime} & f_{x y}^{\prime \prime} \\ f_{y x}^{\prime \prime} & f_{y y}^{\prime \prime} \end{array}\right|_{X_{0}}<0 \text { 时,二次型变号,非极值点. }

无条件极值也会给一个条件，是函数的定义域。例如：求 g(x,y) 在 4x^2+y^2<25 上的极值

条件极值

求 f(x, y)=0 在约束条件 \varphi(x, y)=0 下的极值：

注意：能将条件代入从而消掉一个变量的，直接化为一元函数更简单。

如果能将 \varphi(x, y)=0 的x或y解出来的话，代入 f(x, y)=0 化为一元函数求极值。

如果不能解出x或y解：

第一步：建立拉格朗日方程：

L(x, y)=f(x, y)+\lambda \varphi(x, y)

第二步，分别对x,y和 \lambda 求偏导，得到一个方程组：

\left\{\begin{array}{l} f_{x}^{\prime}+\lambda \varphi_{x}^{\prime}=0 \\ f_{y}^{\prime}+\lambda \varphi_{y}^{\prime}=0 \\ \varphi(x, y)=0 \end{array}\right.

第三步，解方程组得到几组解，根据实际情况或带入原方程得到最优解

解方程组的方法:
1.消 \lambda
3.观察法
4.若x,y有轮换对称性，可令 x=\pm y ，然后代入其中一方程求解

隐函数存在定理1

对于函数，根据定义可知每个x都有唯一的y与其对应，但是对于隐函数：

x^2+y^2-1=0

显然这是个圆，当x确定的时候，有可能出现两个y与之对应，这与函数的定义是矛盾的。所以隐函数的定义需要修改一下。

设函数 F(x,y) 在 (x_0,y_0) 点的某一邻域内有连续的偏导数，且：

F(x_0,y_0)=0,\quad F_y(x_0,y_0)\ne 0

则方程 F(x,y)=0 在 (x_0,y_0) 点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y=f(x) ，它满足条件 y_0=f(x_0) ，并有：

\frac{d y}{d x}=-\frac{F_x}{F_y}

首先，隐函数存在定理中，讨论隐函数是否存在，仅在某点处讨论，而不是整个定义域。

F(x,y) 在A点的邻域内的一段弧是一个传统的函数，那么 F(x,y) 在A点的邻域内就存在隐函数。

例如下图中，在A点的邻域内是一个传统的函数，而在C点不是一段传统的函数。所以 F(x,y) 在A点的邻域内就存在隐函数，在C点的邻域内就不存在隐函数。

image

在 y=f(x) 中， f^{\prime}(x_0)=0 意味着该点切线平行于x轴。拓展一下，对y求导为0是不是意味着该点切线平行于y轴?
偏导数也是一样的道理， F_y(x_0,y_0)= 0 意味着该点切线平行于y轴，就是上图中的C点。C点的邻域中一个x对应多个y了，不是传统的函数，所以C点的邻域不存在隐函数。隐函数存在定理中，条件 F_y(x_0,y_0)\ne 0 就是用来排除C点这种情况的。

拓展到多维，也是成立的：

设函数 F(x,y,z) 在 (x_0,y_0,z_0) 点的某一邻域内有连续的偏导数，且：

F(x_0,y_0,z_0)=0,\quad F_z(x_0,y_0,z_0)\ne 0

则方程 F(x,y,z)=0 在 (x_0,y_0,z_0) 点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 z=f(x,y) ，它满足条件 z_0=f(x_0,y_0) ，并有：

\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}

隐函数存在定理2

设 F(x,y,u,v)，G(x,y,u,v) 在 (x_0,y_0,u_0,v_0) 点的某一邻域内有连续的偏导数，又：

\begin{cases}F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0\\G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0\end{cases}

在 (x_0,y_0,u_0,v_0) 点不等于0，则方程组

\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0\end{cases}

在 (x_0,y_0,u_0,v_0) 点的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续导数的函数 u=u(x,y) 及 v=v(x,y) ，它们满足条件 u_0=u(x_0,y_0) 及 v_0=v(x_0,y_0) ，并有：

\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\left|\begin{array}{ll}{F_{x}} & {F_{v}} \\ {G_{x}} & {G_{v}}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}{F_{u}} & {F_{v}} \\ {G_{u}} & {G_{v}}\end{array}\right|},\quad \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\left|\begin{array}{ll}{F_{u}} & {F_{x}} \\ {G_{u}} & {G_{x}}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}{F_{u}} & {F_{v}} \\ {G_{u}} & {G_{v}}\end{array}\right|}

\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\left|\begin{array}{ll}{F_{y}} & {F_{v}} \\ {G_{y}} & {G_{v}}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}{F_{u}} & {F_{v}} \\ {G_{u}} & {G_{v}}\end{array}\right|},\quad \frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{\left|\begin{array}{ll}{F_{u}} & {F_{y}} \\ {G_{u}} & {G_{y}}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}{F_{u}} & {F_{v}} \\ {G_{u}} & {G_{v}}\end{array}\right|}

驻点、拐点、极值点

驻点就是斜率为0的点，包括拐点和极值点。

拐点是凹凸性发生改变的点，在该点的左右两侧二阶导数异号。即二阶导数等于0，三阶导数不等于0的点（三阶导数为0是常函数）。

极值点有三种方法辨别：

  1. 左右两边导数异号。
  2. 导数为0，二阶导数不为0。
  3. 根据泰勒公式判断。

全微分方程

全微分方程其实就是多元函数的微分方程，所以我们可以对比微分方程来学习：

一元函数 多元函数
微分 dy=P(x) \mathrm{d} x \mathrm{d} u=P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y
微分方程 y^{\prime}+p(x)y=q(x) P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0
莱布尼茨公式 \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } f ^ { \prime } ( t ) d t = f ( x ) - f \left( x _ { 0 } \right) \int _ { \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right) } ^ { ( x , y ) } P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = u ( x , y ) - u ( x_ { 0 } , y_ { 0 })
积分 \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } f ^ { \prime } ( t ) d t 是定积分 \int _ { \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right) } ^ { ( x , y ) } P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y 是曲线积分

全微分方程通常都是一阶的，只需要一次还原即可求解。一般有三种方法求解：

posted @ 2024-03-21 01:01:42
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