方向导数、梯度

一元函数的导数表示表示斜率。推广到多元后，一个点四面八方都有斜率，如果我们想表达这个点沿着方向上的斜率，用方向导数：

沿着哪个方向的导数最大？方向导数可以写成两个向量的数量积的形式：

从上式可以看出，方向导数沿着向量的方向最大，且最大值为

我们将方向导数最大的方向向量定义为梯度：

二元函数的二阶泰勒展开式

函数 在点处的二阶泰勒展开式为：

无条件极值

无条件极值也会给一个条件，是函数的定义域。例如：求在上的极值

条件极值

求在约束条件下的极值：

注意：能将条件代入从而消掉一个变量的，直接化为一元函数更简单。

如果能将的x或y解出来的话，代入化为一元函数求极值。

如果不能解出x或y解：

第一步：建立拉格朗日方程：

第二步，分别对x,y和求偏导，得到一个方程组：

第三步，解方程组得到几组解，根据实际情况或带入原方程得到最优解

解方程组的方法:
1.消
3.观察法
4.若x,y有轮换对称性，可令，然后代入其中一方程求解

函数求导的公式法

若，对于函数：

求。我们可以按复合函数求导法则来计算：

根据复合函数求导法则可以推导出更简便的求导公式：

用上述公式求偏导数，无需关心复合的问题，将所有变量都看成独立的：

对于方程组来说，也可以使用公式来求解：

驻点、拐点、极值点

驻点就是斜率为0的点，包括拐点和极值点。

拐点是凹凸性发生改变的点，在该点的左右两侧二阶导数异号。即二阶导数等于0，三阶导数不等于0的点（三阶导数为0是常函数）。

极值点有三种方法辨别：

1. 左右两边导数异号。
2. 导数为0，二阶导数不为0。
3. 根据泰勒公式判断。

全微分方程

全微分方程其实就是多元函数的微分方程，所以我们可以对比微分方程来学习：

全微分方程通常都是一阶的，只需要一次还原即可求解。一般有三种方法求解：

• 如果你能看出来是这个式子是什么求导的结果，那最好，这就是所谓的凑微分法。
• 直接积分是第二类曲线积分，而且天生的积分与路径无关，所以可以选一个简单的路径直接代入计算
• 用莱布尼茨公式