方向导数、梯度
一元函数的导数表示表示斜率。推广到多元后,一个点四面八方都有斜率,如果我们想表达这个点沿着方向上的斜率,用方向导数:
沿着哪个方向的导数最大?方向导数可以写成两个向量的数量积的形式:
从上式可以看出,方向导数沿着向量的方向最大,且最大值为
我们将方向导数最大的方向向量定义为梯度:
二元函数的二阶泰勒展开式
函数 在点处的二阶泰勒展开式为:
无条件极值
无条件极值也会给一个条件,是函数的定义域。例如:求在上的极值
条件极值
求在约束条件下的极值:
注意:能将条件代入从而消掉一个变量的,直接化为一元函数更简单。
如果能将的x或y解出来的话,代入化为一元函数求极值。
如果不能解出x或y解:
第一步:建立拉格朗日方程:
第二步,分别对x,y和求偏导,得到一个方程组:
第三步,解方程组得到几组解,根据实际情况或带入原方程得到最优解
解方程组的方法:
1.消
3.观察法
4.若x,y有轮换对称性,可令,然后代入其中一方程求解
函数求导的公式法
若,对于函数:
求。我们可以按复合函数求导法则来计算:
根据复合函数求导法则可以推导出更简便的求导公式:
用上述公式求偏导数,无需关心复合的问题,将所有变量都看成独立的:
对于方程组来说,也可以使用公式来求解:
驻点、拐点、极值点
驻点就是斜率为0的点,包括拐点和极值点。
拐点是凹凸性发生改变的点,在该点的左右两侧二阶导数异号。即二阶导数等于0,三阶导数不等于0的点(三阶导数为0是常函数)。
极值点有三种方法辨别:
- 左右两边导数异号。
- 导数为0,二阶导数不为0。
- 根据泰勒公式判断。
全微分方程
全微分方程其实就是多元函数的微分方程,所以我们可以对比微分方程来学习:
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一元函数 |
多元函数 |
微分 |
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微分方程 |
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莱布尼茨公式 |
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积分 |
是定积分 |
是曲线积分 |
全微分方程通常都是一阶的,只需要一次还原即可求解。一般有三种方法求解:
- 如果你能看出来是这个式子是什么求导的结果,那最好,这就是所谓的凑微分法。
- 直接积分是第二类曲线积分,而且天生的积分与路径无关,所以可以选一个简单的路径直接代入计算
- 用莱布尼茨公式