定积的对称性

定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分对称时，我们可以将它分成两部分考虑，一部分是原始部分，另一部分是对称部分。

如果对称部分的函数值与原始部分的函数值相等，那么相当于计算两次原始部分，结果为2倍原始部分。
如果对称部分的函数值与原始部分的函数值正好是相反数，那么正负抵消了，结果为0。

原理就是这么简单，只需看看函数在对称区间是正是负，是正就是2倍，是负就是0。

第二类曲线积分，第二类曲面积分有些特殊，与上述积分不一样。第二类曲线积分表示的做功，第二类曲面积分表示流量。而做功与流量均有正负。如果对称区间两侧都为正，一定有一个做负功，和为0。如果对称区间为负数，那么两个都做正功，和为2倍。即偶函数为0, 奇函数为2倍。例如:若关于xoy平面对称

轮换对称性

若积分区域D中的x,y互换，积分区域D不变，则有

三重积分的计算

三重积分可以转换为一个二重积分和一个定积分，先算二重积分和先算定积分略有不同。

先对z做定积分，x、y看作常数，然后再对x、y做二重积分：

先对x、y做二重积分，z看作常数，然后再对z做定积分：

直角坐标到极坐标的换元

类比一元函数积分的换元过程：

二元函数的换元过程为：

做极坐标换元：

可计算出：

直角坐标到柱坐标系的换元

有了前面一元函数和二元函数换元的基础，我们发现换元后会多出一个参数，用来调节换元前后的差异。同理，三元函数的换元也会多出这样一个参数：

作柱坐标换元：

可计算出：

直角坐标到球坐标系的换元

三重积分积分区域含可以考虑转换为球坐标系计算。如果被积函数也含那就更好了。

转化成球坐标作如下坐标代换：

由扫出一个半圆面，再由将半圆面旋转一周得到球面。

代换后，可以简化计算。

同理可计算出：

椭球面

一般椭球面投影到某个坐标面上是个圆

曲线积分，曲面积分

当时，曲线与直线只是差了个夹角，曲面与平面也只是差了个夹角，即：

亦即：

ds与dx的夹角用勾股定理就算出来了，dS与dxdy的夹角可以转化为法线与z轴的夹角：

所以曲线积分与曲面积分公式为：

注：曲线、曲面积分可以将被积函数用所给曲线或曲面替换，而三重积分万万不行，这是因为三重积分是立体的，给的曲面只是表面，表面的函数不能代表内部。

第二类曲线积分，第二类曲面积分

在物理中经常将一个力分解成坐标方向的几个分力，在计算曲线积分和曲面积分的时候也希望用分力去算，于是把曲线积分拆成了几个定积分，把曲面积分拆成了几个二重积分：

第二步为什么有正有负呢？因为各分力对合力的贡献不一定都是正的。我们是按照坐标轴对合力进行拆分的，所以与坐标轴成锐角为正，成顿角为负。

为了少写几个积分符号，也为了避免考虑正负号的麻烦，第三步中将多个分力合在一起写，积分对象是合力，即将多个积分合在一起写，积分对象是曲线或曲面。这就是第二类曲线、曲面积分。

由上面的推导可知：

注意：分别是与x轴，y轴，z轴的夹角，这点可以从单位向量的几何意义来理解。

实际上我们可以都往一个面投影,例如都往xoy面上投影：

同样的道理，也可以都往yoz或xoz平面上投影。

于是：

所以：

散度和旋度

散度表示某点向外发散的流量。

旋度表示某点旋转的流量。(点周围旋转的流量取极限)

力沿封闭曲线做功，是想让物体旋转，等于曲线内所有点旋度的总和。
曲面方向做的功，等于曲面内所有点发散的量的总和。

格林公式与斯托克斯公式

封闭的曲线积分可以转化为二重积分：

三维封闭曲线，且在同一平面上，可以转化为曲面积分：

其中的单位法向量的方向，服从右手定则。

注意事项：

偏导数要存在 (内部无奇点)
注意曲线是否封闭
注意符号，曲线方向外逆内顺为正，反之为负
格林公式是二维旋度，斯托克斯公式是三维旋度。

积分与路径无关

如果旋度为0，即：

那么沿任何曲线都不做功，积分自然与路径无关。

以下几种说法等价：
如果为的全微分，那么可以写成，即积分只与起点终点有关，与路径无关。

如果为某二元函数的梯度，即，也可以写成，积分与路径无关。

高斯公式

封闭的曲面积分，可以转化为三重积分：