多元函数积分学

定积的对称性

定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分对称时,我们可以将它分成两部分考虑,一部分是原始部分,另一部分是对称部分。

如果对称部分的函数值与原始部分的函数值相等,那么相当于计算两次原始部分,结果为2倍原始部分。
如果对称部分的函数值与原始部分的函数值正好是相反数,那么正负抵消了,结果为0。

原理就是这么简单,只需看看函数在对称区间是正是负,是正就是2倍,是负就是0

第二类曲线积分,第二类曲面积分有些特殊,与上述积分不一样。第二类曲线积分表示的做功,第二类曲面积分表示流量。而做功与流量均有正负。如果对称区间两侧都为正,一定有一个做负功,和为0。如果对称区间为负数,那么两个都做正功,和为2倍。即偶函数为0, 奇函数为2倍。例如:若关于xoy平面对称

\iint _ { \Sigma } 2 x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } + 4 z ^ { 2 } d x d y = \iint _ { \Sigma } 2 x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } d x d y

三重积分的计算

三重积分可以转换为一个二重积分和一个定积分,先算二重积分和先算定积分略有不同。

先对z做定积分,x、y看作常数,然后再对x、y做二重积分:
image

\iiint_{\Omega} f(x, y, z) d v=\iint_{D x y} d x d y \int_{\varphi_{1}(x, y)}^{\varphi_{2}(x, y)} f(x, y, z) d z .

先对x、y做二重积分,z看作常数,然后再对z做定积分:
image

\iiint_{\Omega} f(x, y, z) d v=\int_{c}^{d} d z \iint_{D_{z}} f(x, y, z) d x d y .

直角坐标到极坐标的换元

类比一元函数积分的换元过程:

\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \xlongequal{x=\varphi(t)} \int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t

二元函数的换元过程为:

\iint_{D_{x y}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \xlongequal[y=y(u, v)]{x=x(u, v)} \iint_{D_{u v}} f[x(u, v), y(u, v)]\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v

做极坐标换元:

\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array}\right.

可计算出:

\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}\right| = r

直角坐标到柱坐标系的换元

有了前面一元函数和二元函数换元的基础,我们发现换元后会多出一个参数,用来调节换元前后的差异。同理,三元函数的换元也会多出这样一个参数:

\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \rightarrow\left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}\right| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v \mathrm{~d} w

作柱坐标换元:

\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \\ z=z\end{array}\right.

可计算出:

\left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, z)}\right| = r

直角坐标到球坐标系的换元

三重积分积分区域含x ^ { 2 } + y ^ { 2 }+ z^ { 2 }可以考虑转换为球坐标系计算。如果被积函数也含x ^ { 2 } + y ^ { 2 }+ z^ { 2 }那就更好了。

转化成球坐标作如下坐标代换:

\left\{ \begin{array} { l } { x = r \cos \theta \sin \varphi } \\ { y = r \sin \theta \sin \varphi } \\ { z = r \cos \varphi } \end{array} \right.

0 \leqslant \varphi \leqslant \pi扫出一个半圆面,再由0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi将半圆面旋转一周得到球面。

image

代换后x ^ { 2 } + y ^ { 2 }+ z^ { 2 }=r^2,可以简化计算。

同理可计算出:

\left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, \varphi)}\right| = r^{2} \sin \varphi

曲线积分,曲面积分

\Delta \rightarrow 0时,曲线与直线只是差了个夹角,曲面与平面也只是差了个夹角,即:

ds \cdot\cos\theta = dx

dS \cdot\cos\theta = dxdy

亦即:

ds  = \frac{1}{\cos\theta}dx

dS  = \frac{1}{\cos\theta}dxdy

ds与dx的夹角用勾股定理就算出来了,dS与dxdy的夹角可以转化为法线与z轴的夹角:

ds  = \sqrt{1+\left(y_{x}^{\prime}\right)^{2}}dx

dS  = \sqrt{1+\left(z_{x}^{\prime}\right)^{2}+\left(z_{y}^{\prime}\right)^{2}}dxdy

所以曲线积分与曲面积分公式为:

\int_{L} f(x, y) \mathrm{d} s=\int_{a}^{b} f(x, y(x)) \sqrt{1+\left(y_{x}^{\prime}\right)^{2}} \mathrm{~d} x

\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_{D_{xy}} f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1+\left(z_{x}^{\prime}\right)^{2}+\left(z_{y}^{\prime}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y

注:曲线、曲面积分可以将被积函数用所给曲线或曲面替换,而三重积分万万不行,这是因为三重积分是立体的,给的曲面只是表面,表面的函数不能代表内部。

第二类曲线积分,第二类曲面积分

在物理中经常将一个力分解成坐标方向的几个分力,在计算曲线积分和曲面积分的时候也希望用分力去算,而不是用合力。于是就有了第二类曲线积分和第二类曲面积分。

它们就是合力与分力的区别,于是有:

\int_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{L}(P \cos \alpha+Q \sin \alpha) \mathrm{d} s

\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) \mathrm{d} S

第二类曲线积分就是将曲线积分变成几个定积分的和。第二类曲面积分就是将曲面积分变成几个二重积分的和。

散度和旋度

散度表示某点向外发散的流量。
\operatorname { div } A = \frac { \partial P } { \partial x } + \frac { \partial Q } { \partial y } + \frac { \partial R } { \partial z }

旋度表示某点旋转的流量。(点周围旋转的流量取极限)

\operatorname { rot } A = \left| \begin{array} { c c c } i & j & k \\ \frac { \partial } { \partial x } & \frac { \partial } { \partial y } & \frac { \partial } { \partial z } \\ P & Q & R \end{array} \right|

力沿封闭曲线做功,是想让物体旋转,等于曲线内所有点旋度的总和。
曲面方向做的功,等于曲面内所有点发散的量的总和。

格林公式与斯托克斯公式

封闭的曲线积分可以转化为二重积分:

\oint _ { L } P ( x , y ) \mathrm { d } x + Q ( x , y ) \mathrm { d } y = \iint _ { D } \left( \frac { \partial Q } { \partial x } - \frac { \partial P } { \partial y } \right) \mathrm { d } x \mathrm { d } y

三维封闭曲线,且在同一平面上,可以转化为曲面积分:

\oint_{l} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z =\iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{ccc}\cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R\end{array}\right|dS

注意事项:

  1. 偏导数要存在 (内部无奇点)
  2. 注意曲线是否封闭
  3. 注意符号,曲线方向外逆内顺为正,反之为负
  4. 格林公式是二维旋度,斯托克斯公式是三维旋度。

积分与路径无关

如果旋度为0,即:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =0
那么沿任何曲线都不做功,积分自然与路径无关。

以下几种说法等价:
如果P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} yu(x, y) 的全微分,那么\oint_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y可以写成\int_{A}^{B} du,即积分只与起点终点有关,与路径无关。

如果P i+Q j 为某二元函数 u(x, y) 的梯度,即du = P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y,也可以写成\int_{A}^{B} du,积分与路径无关。

高斯公式

封闭的曲面积分,可以转化为三重积分:

\iint _ { \Sigma }  P d y d z + Q d z d x + R d x d y = \iint _ { \Omega } \left( \frac { \partial P } { \partial x } + \frac { \partial Q } { \partial y } + \frac { \partial R } { \partial z } \right) d v

注意事项:

  1. 曲面外侧为正
  2. 注意是否封闭
  3. 注意偏导数是否存在

积分与曲面无关

如果散度为0,即:
\frac { \partial P } { \partial x } + \frac { \partial Q } { \partial y } + \frac { \partial R } { \partial z } =0

则曲面积分与曲面无关。

posted @ 2021-05-12 19:41:43
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