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无穷级数

级数的用途

数学中有各种各样的函数，有人想是不是任何函数都能通过其他函数复合而来呢？也就是万能函数计划。后来约瑟夫·利维尔证明，有一部分函数不能由其他函数复合而成，而且这种函数还有无限多个，万能函数计划泡汤了。

虽然没有万能函数，约瑟夫·利维尔还是挑选了6个函数，这6个函数及其复合函数被称作基本初等函数。基本初等函数范畴规划的非常好, 常见的函数都在这个范畴。

超出这个范畴的函数该如何表示呢？级数就是表达方法之一。姑且可以将级数看成是比基本初等函数表示范围大一些的函数。

微分方程的解常常是非基本初等函数，所以经常用级数表示。

级数有很多性质，也常常用这些性质来研究基本初等函数。

级数主要分为常数项级数和函数项级数，类比函数，常数项级数相当于 f(a) ，函数项级数相当于 f(x) 。

由于基本初等函数都可以和函数项级数中的幂级数相互转化，所以幂级数格外重要。

级数必须是收敛的

来算一道题：

1+1-1+1-1+1-1+......=

针对这一道题，历史上给出了3种不同的答案，而且每一种似乎还都挺有道理，不信你看：

令 S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n

原题相当于求 \lim_{n \rightarrow \infty}S_n ，这个极限不存在。

如果一个级数不存在，那么我们研究它就没啥意义了，所以研究级数的第一步就是先判断它存不存在。

重要的常数项级数

级数 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} 被称为p级数，特别地，p=1时 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 被称为调和级数。

注意： \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\log n} 是发散的

级数 \sum_{n=1}^{\infty} a q^{n} 被称为几何级数。

常数项级数的审敛法

\begin{array} {c|c} \hline 比较审敛法 & \begin{array} {c} \text { 若 } a_{n} \leqslant b_{n} \text { 且 } \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \text { 收敛, 则 } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 收敛. }\\ \text { 若 } a_{n} \geqslant b_{n} \text { 且 } \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \text { 发散, 则 } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 发散. }\\ \text { 设 } \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=l(0<l<+\infty), \text { 则级数 } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 与 } \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \text { 敛散性相同. } \end{array}\\ \hline 比值审敛法 & \begin{aligned} &\text { 设 } \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\rho, \text { 则当 } \rho<1 \text { 时,级数 } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 收敛 }\\ &\text { 当 } \rho>1 \text { 时,级数 } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 发散. } \end{aligned}\\ \hline 根值审敛法 & \begin{aligned} &\text { 设 } \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=\rho, \text { 则当 } \rho<1 \text { 时,级数 } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 收敛 } ;\\ &\text { 当 } \rho>1 \text { 时,级数 } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 发散. } \end{aligned}\\ \hline 莱布尼兹审敛法 & \begin{aligned} &设 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n} \text { 为交错级数, 若 }\\ &(1)\left\{u_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \text { 单调减少; }\\ &(2)\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0\\ &\text { 则级数 } \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n} \text { 收敛,且其和不超过 } u_{1} \text { . } \end{aligned}\\ \hline \end{array}

技巧：

  1. 添加括号提高收敛性
  2. 一般项向0跑的越快，收敛的可能性越大
  3. 有两两抵消的情况会提高收敛性，加绝对值后这个抵消的效果就没有了。如果原级数收敛，加绝对值后发散，则称原级数条件收敛。如果加绝对值后还是收敛的则称原级数绝对收敛。从而可以知道，绝对收敛的级数，原级数一定收敛。

常用函数的幂级数

\begin{aligned} \hline \mathrm{e}^{x} &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}, \quad &x \in(-\infty,+\infty) \\ \hline \cos x &=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}, \quad &x \in(-\infty,+\infty) \\ \hline \sin x &=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}, \quad &x \in(-\infty,+\infty) \\ \hline \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}, \quad &x \in(-\infty,+\infty) \\ \hline \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}, \quad &x \in(-\infty,+\infty) \\ \hline \frac{1}{1-x}&= \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}, \quad &x \in(-1,1) \\ \hline \frac{1}{1+x}&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}, \quad &x \in(-1,1) \\ \hline \ln (1+x)&=\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } x ^ { n } } { n }, \quad &x \in(-1,1] \\ \hline -ln(1-x) &=\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { x ^ { n } } { n }, \quad &x \in[-1,1) \\ \hline ln2 &= \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { n } = 1- \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} ... \\ \hline \end{aligned}

收敛区间是不考虑端点的开区间。
收敛域要考虑端点。

幂级数平移后收敛半径不变，端点处敛散性也不变。
幂级数求导、积分后收敛半径不变，端点处敛散性可能改变。

函数 \longrightarrow 幂级数

函数转化成幂级数不涉及复合函数，一般就是简单的表达式直接套公式，或者通过积分、求导后再套公式。

  1. 拆开 套公式
  2. 求导 套公式 再积分
  3. 积分 套公式 再求导
  4. 有理分式考虑拆分

幂级数 \longrightarrow 函数

形式 处理方法 例子
系数不含n 可变形直接套公式 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} x^{2 n}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{P(n)}{Q(n)} x^{n} 拆成多个幂级数 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4 n^{2}+4 n+3}{2 n+1} x^{2 n}
\sum_{n=0}^{\infty} P(n) x^{n} 先积分，再求导 \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{p(n)} ( P(n) 不含阶乘) 用公式 -\ln (1-x)
先求导，再积分 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n(2 n-1)} x^{2 n}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{p(n)} ( P(n) 含阶乘) 利用 e^x,\sin x,\cos x 的公式 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2 n^{2}}{(2 n) !} \frac{1}{2^{n}}
级数满足微分方程 微分方程的解即为和函数 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{(3 n) !} 满足微分方程 y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{x}

注意:

  1. 无论求和函数还是求级数，都要先求收敛域
  2. 求和函数是要格外注意定义域
  3. 注意下标，尤其注意代换的时候
posted @ 2021-05-17 11:34:40
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