无穷级数

级数的用途

数学中有各种各样的函数,有人想是不是任何函数都能通过其他函数复合而来呢?也就是万能函数计划。后来约瑟夫·利维尔证明,有一部分函数不能由其他函数复合而成,而且这种函数还有无限多个,万能函数计划泡汤了。

虽然没有万能函数,约瑟夫·利维尔还是挑选了6个函数,这6个函数及其复合函数被称作基本初等函数。基本初等函数范畴规划的非常好, 常见的函数都在这个范畴。

超出这个范畴的函数该如何表示呢?级数就是表达方法之一。姑且可以将级数看成是比基本初等函数表示范围大一些的函数。

微分方程的解常常是非基本初等函数,所以经常用级数表示。

级数有很多性质,也常常用这些性质来研究基本初等函数。

级数主要分为常数项级数函数项级数,类比函数,常数项级数相当于 f(a) ,函数项级数相当于 f(x)

由于基本初等函数都可以和函数项级数中的幂级数相互转化,所以幂级数格外重要。

级数必须是收敛的

来算一道题:

1+1-1+1-1+1-1+......=

针对这一道题,历史上给出了3种不同的答案,而且每一种似乎还都挺有道理,不信你看:

S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n

原题相当于求 \lim_{n \rightarrow \infty}S_n ,这个极限不存在。

如果一个级数不存在,那么我们研究它就没啥意义了,所以研究级数的第一步就是先判断它存不存在。

重要的常数项级数

级数 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} 被称为p级数,特别地,p=1时 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 被称为调和级数。

有趣的是,当 n\rightarrow+\infty 时, \frac{1}{n\log n} 虽然小于 \frac{1}{n} ,但 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\log n} 居然发散的,可见 \frac{1}{n\log n} 还是不够小,再小的指数也比对数大。

级数 \sum_{n=1}^{\infty} a q^{n} 被称为几何级数。

常数项级数的审敛法

\begin{array} {c|c} \hline 比较审敛法 & \begin{array} {c} \text { 若 } a_{n} \leqslant b_{n} \text { 且 } \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \text { 收签, 则 } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 收签. }\\ \text { 若 } a_{n} \geqslant b_{n} \text { 且 } \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \text { 发散, 则 } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 发散. }\\ \text { 设 } \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=l(0<l<+\infty), \text { 则级数 } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 与 } \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \text { 签散性相同. } \end{array}\\ \hline 比值审敛法 & \begin{aligned} &\text { 设 } \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\rho, \text { 则当 } \rho<1 \text { 时,级数 } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 收签 }\\ &\text { 当 } \rho>1 \text { 时,级数 } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 发散. } \end{aligned}\\ \hline 根值审敛法 & \begin{aligned} &\text { 设 } \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=\rho, \text { 则当 } \rho<1 \text { 时,级数 } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 收签 } ;\\ &\text { 当 } \rho>1 \text { 时,级数 } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 发散. } \end{aligned}\\ \hline 莱布尼兹审敛法 & \begin{aligned} &设 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n} \text { 为交错级数, 若 }\\ &(1)\left\{u_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \text { 单调减少; }\\ &(2)\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0, \text { 则级数 } \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n} \text { 收签,且其和不超过 } u_{1} \text { . } \end{aligned}\\ \hline \end{array}

技巧:

  1. 添加括号提高收敛性
  2. 一般项向0跑的越快,收敛的可能性越大
  3. 有两两抵消的情况会提高收敛性,加绝对值后这个抵消的效果就没有了。如果原级数收敛,加绝对值后发散,则称原级数条件收敛。如果加绝对值后还是收敛的则称原级数绝对收敛。从而可以知道,绝对收敛的级数,原级数一定收敛。

常用函数的幂级数

\begin{aligned} \hline \mathrm{e}^{x} &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}, \quad &x \in(-\infty,+\infty) \\ \hline \cos x &=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}, \quad &x \in(-\infty,+\infty) \\ \hline \sin x &=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}, \quad &x \in(-\infty,+\infty) \\ \hline \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}, \quad &x \in(-\infty,+\infty) \\ \hline \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}, \quad &x \in(-\infty,+\infty) \\ \hline \frac{1}{1-x}&= \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}, \quad &x \in(-1,1) \\ \hline \frac{1}{1+x}&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}, \quad &x \in(-1,1) \\ \hline \ln (1+x)&=\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } x ^ { n } } { n }, \quad &x \in(-1,1] \\ \hline -ln(1-x) &=\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { x ^ { n } } { n }, \quad &x \in[-1,1) \\ \hline ln2 &= \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { n } = 1- \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} ... \\ \hline \end{aligned}

其实常用的幂级数可以根据泰勒公式写出来,收敛域可以现计算,常用的幂级数收敛域都非常好计算的。

幂级数的收敛域

首先需要明确收敛区间与收敛域的概念。收敛区间是不考虑端点的开区间。收敛域要考虑端点。计算出收敛区间后,将端点代入级数判断收敛性即可写出收敛域。

对于 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} ,若 \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\rho\text{或} \lim _ { n \rightarrow \infty } \sqrt [ n ] { \left| a _ { n } \right| } = \rho ,则收敛半径 R=\frac{1}{\rho} ,收敛区间为 (-R,R)

对于 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x-x_{0})^{k n+1} ,令 t=(x-x_{0})^{k} ,则可化为 (x-x_{0})\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} t^n ,它的收敛半径 R=\frac{1}{\rho} ,收敛区间为 (-R,R) 。所以原式的收敛半径 R=\sqrt[k]{\frac{1}{\rho}}+x_{0} ,收敛区间为 (-\sqrt[k]{R}+x_{0},\sqrt[k]{R}+x_{0})

幂级数平移、求导、积分后,收敛半径不变。

函数 \longrightarrow 幂级数

函数转化成幂级数不涉及复合函数,一般就是简单的表达式直接套公式,或者通过积分、求导后再套公式。

  1. 拆开 套公式
  2. 求导 套公式 再积分
  3. 积分 套公式 再求导
  4. 有理分式考虑拆分

幂级数 \longrightarrow 函数

形式 处理方法 例子
系数不含n 可变形直接套公式 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} x^{2 n}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{P(n)}{Q(n)} x^{n} 拆成多个幂级数 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4 n^{2}+4 n+3}{2 n+1} x^{2 n}
\sum_{n=0}^{\infty} P(n) x^{n} 先积分,再求导 \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{p(n)} ( P(n) 不含阶乘) 用公式 -\ln (1-x)
先求导,再积分 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n(2 n-1)} x^{2 n}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{p(n)} ( P(n) 含阶乘) 利用 e^x,\sin x,\cos x 的公式 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2 n^{2}}{(2 n) !} \frac{1}{2^{n}}
级数满足微分方程 微分方程的解即为和函数 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{(3 n) !} 满足微分方程 y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{x}

注意:

  1. 无论求和函数还是求级数,都要先求收敛域
  2. 求和函数是要格外注意定义域
  3. 注意下标,尤其注意代换的时候

傅立叶级数

幂级数是用幂函数逼近f(x)的:

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n

对于周期为 2l f(x) ,可以用三角函数逼近f(x),这就是傅立叶级数:

f(x) = \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi x}{l}+b_{n} \sin \frac{n \pi x}{l}\right)

a_{n}=\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{n \pi x}{l} \mathrm{~d} x

b_{n}=\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} \mathrm{~d} x

[-l,l] 上有:

f(x) = \frac{1}{2}\left[f\left(x^{-}\right)+f\left(x^{+}\right)\right]

f(x) 为奇函数时, a_n=0 ,傅立叶级数被称作正弦级数,此时:

f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} \sin \frac{n \pi x}{l}

b_{n}=\frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} \mathrm{~d} x

f(x) 为偶函数时, b_n=0 ,傅立叶级数被称作余弦级数,此时:

f(x) = \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} \cos \frac{n \pi x}{l}

a_{n}=\frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \cos \frac{n \pi x}{l} \mathrm{~d} x

posted @ 2021-05-17 11:34:40
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