随机变量

掷骰子，可能是正面，也可能是反面。
箱子里摸球，可能摸到红球，也可能摸到白球，也可能摸到黄球。
数学中喜欢把这些结果符号化。用X表示掷骰子，或摸球的结果。这个X就是随机变量。

总体与样本

统计的总体用X表示。
从总体中抽取样本记为，他们都是随机变量。
如果抽完了，观测值记为，观测值是实际的数值。

抽出的样本可以是一个元素也可以是一组元素。一般来说，抽出的简单随机样本是由 n 个随机变量，组成的。这个样本可以认为形成了一个 n 维随机向量 。

问题：总体X是不是随机变量？

有些教程上说X是随机变量，也有些教程写X是所有取值的集合。很迷惑😮‍💨。
我倾向于X是一个集合，因为集合才可以抽样呀。所以我们要注意，这个总体X符号与随机变量X的符号一样，不要弄混了。
我们经常会说这是一个正态总体，但这并不表明这个总体是一个服从正态分布的随机变量，而是指如果从这个总体中抽取一个随机变量X ，则X服从正态分布，这个随机变量X 的分布称作总体分布。

统计量

统计量的定义：不含任何未知参数的样本的函数。

例如，把几个样本相加，就是统计量

再例如：

统计量的分布

正态分布总体下的常用结论

因为：

则：

标准化：

用样本方差代替总体方差，则有:

根据卡方分布的定义有：

若用样本均值代替总体均值，则有：

再根据：

则有：

因为

所以

即

矩估计

矩估计的思路是直接用估计量代表总体的特征，从而求出模型中的参数，即令：

样本只是从一堆物品中抽出一部分当样本。代表多个样本，所以并不是0。根据上面的定义，有如下推导：

最大似然估计

如果总体模型中有参数未确定，写出样本发生的概率L，此时L必定是关于的函数。

实际上我们已经得到样本了，所以我们假设此时L发生的概率是最大的，只需求出使L取得最大值的参数，即为估计的模型参数。

均值和方差

注：为什么方差是而不是呢？因为前者是无偏估计。

若，则称为的无偏估计量，否则是有偏估计。

区间估计与假设检验

区间估计一般都会给个叫的东西，是分布两边小概率部分的概率。

根据查表可知，中间大概率部分的取值范围为：

这个公式就是区间估计和假设检验的核心。区间估计就是求这个公式中的某个参数，因为这个公式是个区间，求出的参数也是个区间。假设检验是把假设代入这个公式，符合就接受，否则就拒绝。

情况一：求的区间估计
此时题目中会给出、、、，根据查表可得，于是方程中仅是未知的，整理可得：

情况二：求
此时题目中会给出、、、，根据查表可得，于是方程中仅是未知的，整理可得：

此时求出的n是唯一的，为了增加难度，题目中的某一个参数可能会给一个区间，这样n也是一个区间。

情况三：求、
那个公式里面还有、可以求，不过暂时没遇到这种题，若是真遇到根据原理仔细分析应该也不难。