平面几何与立体几何

点积、叉积、混合积

\vec{a} \cdot \vec{b}= |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta =a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2}

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混合积:

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=\left|\begin{array}{lll}a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z\end{array}\right|

由行列式可知,混合积交换两次值不变。既:

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}=(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}

若混合积 (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=0 ,向量 \vec{a}、\vec{b}、\vec{c} 共面,所以混合积经常用于判断两直线是否共面:

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\vec{S}_1 \times \vec{S}_{2} \overrightarrow{M_{1} M_{2}} 垂直,则两直线共面,即:

\left(\vec{S}_1 \times \vec{S}_{2}\right) \cdot \overrightarrow{M_{1} M}_{2}=0

空间曲线的切线与法平面

\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t)\end{array}\right.

P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) 处的切向量 \tau=\left(x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right) , z^{\prime}\left(t_{0}\right)\right)

切线方程: \frac{x-x_{0}}{x^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{y^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{z^{\prime}\left(t_{0}\right)}

法平面: x^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+y^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+z^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0

一般来说空间曲线是由参数方程给出的,如果不是的话,也要化成参数方程。如果空间曲线是由两个隐函数方程给出的:
\left\{\begin{array}{l}F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0\end{array}\right.
我们只需将x看成参数,它仍然是个参数方程,只不过是用隐函数表示的:

\left\{\begin{array}{l}x=x\\F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0\end{array}\right.

这时可以用隐函数求公式对x求导:

x^{\prime}=1,\quad y^{\prime}=-\frac{\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, z)}}{\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}},\quad z^{\prime}=-\frac{\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, x)}}{\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}}

空间曲面的切平面与法线

F(x, y, z)=0
其在 P_{0}\left(x_{0}, y_{0} ,z_{0}\right) 处的法向量 n=\left(F_{x}^{\prime}|_{P_{0}}, F_{y}^{\prime}| _{P_{0}}, F_{x}^{\prime}|_{P_{0}}\right)

切平面: F_{x}^{\prime}|_{P_{0}} \left(x-x_{0}\right)+F_{y}^{\prime}|_{P_{0}} \left(y-y_{0}\right)+F_{z}^{\prime}|_{P_{0}} \left(z-z_{0}\right)=0

法线: \frac{x-x_{0}}{F_{x}^{\prime}|_{P_{0}}}=\frac{y-y_{0}}{F_{y}^{\prime}|_{P_{0}}}=\frac{z-z_{0}}{F_{z}^{\prime}|_{P_{0}}}

平面几何的参数方程

图形 直角坐标 极坐标
x^{2}+y^{2}=R^{2} r=R
- r=2 R \cos \theta
- r=2 R \sin \theta
摆线 - \left\{ \begin{array} { l } { x = a ( t - \sin t ) } \\ { y = a ( 1 - \cos t ) } \end{array} \right.
心形线 - r = a ( 1 + \cos \theta )
双纽线 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } = a ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) r ^ { 2 } = a ^ { 2 } \cos 2 \theta
星形线 x ^ { \frac { 2 } { 3 } } + y ^ { \frac { 2 } { 3 } } = a ^ { \frac { 2 } { 3 } } \left\{ \begin{array} { l } { x = a \cos ^ { 3 } t } \\ { y = a \sin ^ { 3 } t } \end{array} \right.

平面

一般式

A x + B y + C z + D = 0

截距式

\frac { x } { a } + \frac { y } { b } + \frac { z } { c } = 1

点法式

A \left( x - x _ { 0 } \right) + B \left( y - y _ { 0 } \right) + C \left( z - z _ { 0 } \right) = 0

直线

一般式

\left\{ \begin{array} { l } { A _ { 1 } x + B _ { 1 } y + C _ { 1 } z + D _ { 1 } = 0 } \\ { A _ { 2 } x + B _ { 2 } y + C _ { 2 } z + D _ { 2 } = 0 } \end{array} \right.

点向式

\frac { x - x _ { 0 } } { m } = \frac { y - y _ { 0 } } { n } = \frac { z - z _ { 0 } } { p }

参数式

\left\{ \begin{array} { l } { x = x _ { 0 } + m t } \\ { y = y _ { 0 } + n t } \\ { z = z _ { 0 } + p t } \end{array} \right.

一般式转点向式只需要计算出向量再取一点点向式转一般式更简单,只需要将点向式拆开成两个柱面即可

距离公式

1.两点间距离

d = \sqrt { \left( x _ { 2 } - x _ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( y _ { 2 } - y _ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( z _ { 2 } - z _ { 1 } \right) ^ { 2 } }

2.点到平面距离

d = \frac { \left| A x _ { 0 } + B y _ { 0 } + C z _ { 0 } + D \right| } { \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } + C ^ { 2 } } }

3.点到直线距离不要记公式,记住几何意义

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4.两平行平面间距离

d = \frac { \left| D _ { 2 } - D _ { 1 } \right| } { \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } + C ^ { 2 } } }

5.两异面直线间距离不要记公式,记几何意义

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夹角公式

1.两向量间夹角

\theta = \arccos \frac { \vec { \alpha } \cdot \vec { \beta } } { | \vec { \alpha } | | \vec { \beta } | }

2.两直线间夹角

\theta = \arccos \frac { | \overrightarrow { s _ { 1 } } \cdot \overrightarrow { s _ { 2 } } | } { | \overrightarrow { s _ { 1 } } | | \overrightarrow { s _ { 2 } } | }

3.两平面间夹角

\theta = \arccos \frac { | \overrightarrow { n _ { 1 } } \cdot \overrightarrow { n _ { 2 } } | } { | \overrightarrow { n _ { 1 } } | | \overrightarrow { n _ { 2 } } | }

4.直线与平面间夹角

\varphi = \arcsin \frac { | \vec { s } \cdot \vec { n } | } { | \vec { s } | | \vec { n } | }

曲线绕坐标轴旋转后的曲面方程

绕哪个轴旋转,哪个字母不动。

例如:

f(x,y)=0 绕x轴旋转得: f\left(x, \pm \sqrt{y^{2}+z^{2}}\right)=0
f(x,y)=0 绕y轴旋转得: f\left(\pm \sqrt{x^{2}+z^{2}}, y\right)=0

平面束方程

已知直线L:

\left\{\begin{array}{l}A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0 \\ A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0\end{array}\right.

则过直线的所有平面所组成的平面束为:

A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}+\lambda\left(A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}\right)=0

直线L在平面A上的投影

投影其实是,过直线L且与平面A垂直的平面B与平面A的交线。把直线写成一般式,然后写出写出平面束方程,两法向量数量积为0,即可算出平面B。两个平面联立就是投影的一般式。

直线旋转问题

直线 L: \frac { x - a } { m } = \frac { y - b } { n } = \frac { z - c } { p } 绕z轴旋转:

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先考虑一个点 M_0(x_0,y_0,z_0) 绕z轴旋转,圆上任意一点 M(x,y,z) M_0 的关系为:

| M T | = \left| M _ { 0 } T \right|

既:

\left \{\begin{array}{c}x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = x _ { 0 } ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 }\\z=z_0\end{array}\right.

这个点还必须满足在直线上:

\frac { x_ { 0 } - a } { m } = \frac { y_ { 0 } - b } { n } = \frac { z_0 - c } { p }

联立消掉 x_ { 0 },y_ { 0 },z_0 就得到曲面方程啦

posted @ 2021-07-17 10:47:13
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