点积、叉积、混合积
混合积:
由行列式可知,混合积交换两次值不变。既:
混合积的几何意义:
如图所示,如果与共面则,一定垂直于,即:
空间曲线的切线与法平面
在 处的切向量
切线方程:
法平面:
一般来说空间曲线是由参数方程给出的,如果不是的话,也要化成参数方程。如果空间曲线是由两个隐函数方程给出的:
我们只需将x看成参数,它仍然是个参数方程,只不过是用隐函数表示的:
这时可以用隐函数求公式对x求导:
空间曲面的切平面与法线
其在 处的法向量
切平面:
法线:
平面几何的参数方程
图形 |
直角坐标 |
极坐标 |
圆 |
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- |
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- |
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摆线 |
- |
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心形线 |
- |
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双纽线 |
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星形线 |
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平面
一般式
截距式
点法式
直线
一般式
点向式
参数式
一般式转点向式只需要计算出向量再取一点点向式转一般式更简单,只需要将点向式拆开成两个柱面即可
距离公式
1.两点间距离
2.点到平面距离
3.点到直线距离不要记公式,记住几何意义
4.两平行平面间距离
5.两异面直线间距离不要记公式,记几何意义
夹角公式
1.两向量间夹角
2.两直线间夹角
3.两平面间夹角
4.直线与平面间夹角
曲线绕坐标轴旋转后的曲面方程
绕哪个轴旋转,哪个字母不动。
例如:
绕x轴旋转得:
绕y轴旋转得:
平面束方程
已知直线L:
则过直线的所有平面所组成的平面束为:
直线L在平面A上的投影
投影其实是,过直线L且与平面A垂直的平面B与平面A的交线。把直线写成一般式,然后写出写出平面束方程,两法向量数量积为0,即可算出平面B。两个平面联立就是投影的一般式。
直线旋转问题
直线绕z轴旋转:
先考虑一个点绕z轴旋转,圆上任意一点与的关系为:
既:
这个点还必须满足在直线上:
联立消掉就得到曲面方程啦