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中值定理

中值定理可以证明某个值存在。或许是我见识浅薄，我觉着证明某个值存在在工程中没有多大意义，工程实践往往需要计算出确切的值。所以我认为以后不会再用到这些理论了，但是中值定理在考研中确实有一定的难度，所以还是整理一下吧。

有一个极其重要的知识点，中值定理的 \xi\in [a, b] ，可以换一种写法：

\xi = a + \theta(b-a) \qquad \theta \in[0, 1]

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介值定理

若 f(x) \in C[a, b], 对任意的 \eta \in[m, M] ,存在 \xi \in[a, b], 使得 f(\xi)=\eta

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零点定理

若 f(x) \in C\left[a, b\right] , 月. f(a) f(b)<0, 则存在 \xi \in(a, b), 使得 f(\xi)=0

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罗尔定理

设 f(x) \in C[a, b], 在 (a, b) 内可导, f(a)=f(b), 则存在 \xi \in(a, b), 使得 f^{\prime}(\xi)=0

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拉格朗日中值定理

设 f(x) \in C[a, b], 在 (a, b) 内可导,则存在 \xi \in(a, b), 使得 f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

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柯西中值定理

设 f(x), g(x) \in C[a, b] ,在 (a, b) 内可导,且 g^{\prime}(x) \neq 0(a<x<b) ,则存在 \xi \in(a, b), 使得

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}

泰勒中值定理

设 f(x) 在 x=x_{0} 的邻域内 n+1 阶可导,则

f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}

其中 \xi 介于 x_{0} 与 x 之间 , 称 R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1} 为拉格朗日型余项. 余项 R_{n}(x) 也 可表示为 R_{n}(x)=o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right), 称 R_{n}(x)=o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right) 为佩亚诺型余项.

中值定理的推论

若 f ^ { ( n ) } ( x ) = 0 至多k个根，则 f ( x ) = 0 至多有k+n个根。(罗尔定理的推广，也叫罗尔原话)

实系数奇次方程 x ^ { 2 n+ 1 } + a _ { 1 } x ^ { 2 n } + \cdots + a _ { 2 n } x + a _ { 2 n + 1 } = 0 至少有一个根。(x趋于正无穷是正无穷,x趋于负无穷是负无穷,根据零点定理必存在零点)

积分中值定理

设 f(x) \in C[a, b], 则存在 \xi \in[a, b], 使得

\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)(b-a)

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(二重积分中值定理)设 D 为平面有限闭区域, f(x, y) 在 D 上连续, \mathrm{A} 表示区域 D 的 面积,则存在 (\xi, \eta) \in D, 使

\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=f(\xi, \eta)A

积分第一中值定理

设 f(x), g(x) \in C[a, b] 且 g(x) \geqslant 0 , 则存在 \xi \in[a, b] ,使得 \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x

积分中值定理的推广

积分中值定理的推广就是积分中值定理不包含端点的情况但是这个定理不能直接用结论，要写出推导过程

设 F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t ，则：

\int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a)

存在 \xi \in(a, b) 使

F(b)-F(a)=f(\xi)(b-a)

即

\int_{a}^{b} f(x) d x=f(\xi)(b-a) \quad \xi \in(a, b)

posted @ 2021-06-24 11:59:57
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