复杂行列式的求解

一般的行列式只需化成对角线行列式、拉普拉斯展开式、范德蒙德行列式即可求出解。

如果不能用上述方法求解,必须\color{red}{找出D_{n}与D_{n-1}的递推关系}。对于更复杂的需要找出D_{n}D_{n-1}D_{n-2}的关系。

对于“异爪型”,因为需要递推,D_{n-1}、D_{n-2}也都得是“异爪型”,所以按照爪尖展开:

D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & a_{n} \\ -1 & x & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x&0\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & x\end{array}\right|

按最后一列展开可得:

D_{n}=a_{n} \cdot(-1)^{1+n+1} \cdot(-1)^{n}+x \cdot D_{n-1}

然后根据递推关系式即可求出解。

对于证明型,可以考虑数学归纳法,这样可以省略用递推关系求解的步骤。

D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}2 a & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ a^{2} & 2 a & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & a^{2} & 2 a & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 a & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a^{2} & 2 a\end{array}\right|=(n+1) a^{n} .

按第一列展开得到与D_{n-1}的关系,展开后的第二项还可以展开得到D_{n-2}:

D_{n}=2 a \cdot D_{n-1}+a^{2} \cdot (-1)^{2+1} \cdot 1 \cdot (-1)^{1+1}\cdot D_{n-2}

posted @ 2021-07-27 13:05:10
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