伽马函数

伽马函数据说是数学界的基本常识。定义如下:

\Gamma(\alpha+1)=\int_{0}^{+\infty} \color{red}{x}^{\alpha} e^{-\color{red}{x}} d \color{red}{x}

重要的是红色部分可以换成任何式子,所以伽马函数有很多种变形。

伽马函数的性质:

\begin{array}{l}\Gamma(1)=1,\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\\
\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)\\
\Gamma(n+1)=n!\end{array}

例1. 计算 \int_{0}^{+\infty} x^{3} e^{-2 x} d x
\begin{aligned} & \int_{0}^{+\infty} x^{3} e^{-2 x} d x \\=& \frac{1}{16} \int_{0}^{+\infty}(2 x)^{3} e^{-2 x} d 2 x \\=& \frac{1}{16} \Gamma(4) \\=& \frac{1}{16} 3 ! \\=& \frac{3}{8} \end{aligned}

例2. 计算 \int_{0}^{+\infty} x^{3} e^{-x^{2}} d x
\begin{aligned} & \int_{0}^{+\infty} x^{3} e^{-x^{2}} d x \\=& \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty}\left(x^{2}\right) e^{-x^{2}} d x^{2} \\=& \frac{1}{2} \Gamma(1) \\=& \frac{1}{2} \end{aligned}

例3. 计算 \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} \cdot \frac{1}{2 \sigma} e^{-\frac{|x|}{\sigma}} d x

\begin{aligned} & \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} \frac{1}{2 \sigma} e^{-\frac{|x|}{\sigma}} d x \\=& \sigma^{2} \int_{0}^{+\infty}\left(\frac{x}{\sigma}\right)^{2} e^{-\frac{x}{\sigma}} d \frac{x}{\sigma} \\=& \sigma^{2} \Gamma(3) \\=& 2 \sigma^{2} \end{aligned}

posted @ 2021-08-02 11:56:55
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