列维-林德伯格中心极限定理

当样本足够大时，无论总体服从什么分布，样本均值们服从正态分布。设总体的,则样本均值们：

这里的均值和总体均值一致，均值的方差更小，符合直觉。标准化一下：

根据分布函数的定义有：

分子分母同时乘n，则有：

棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

当n足够大时，二项分布趋于正态分布。

根据分布函数的定义有：

设是一个随机变量序列, 是一个常数, 若对任何正数 , 有

则称序列依概率收敛于 , 记为

其实就是当n无穷大时，趋于。把它理解成极限就行。

独立同分布，期望为，当数据足够多时，均值趋于期望：

假设是n重伯努利试验中事件A发生的次数,在每次试验中A发生的概率为p，则：

举例子，射击运动员命中的概率为0.9，射击1000次中912次，此时。当射击次数时

讲切比雪夫不等式之前先讲一个经验，对于正态分布来说，离中心越近面积越大，比如距离中心趋于的面积大约68%；距离中心趋于的面积大约95%，既：

我们也可以把不等号换个方向：

切比雪夫不等式讲这件事扩展到任何分布，对任意,有：

证明：记 , 且

独立，存在期望及方差，且方差有界，则当n无穷大时，均值依概率收敛于均值的期望：

证明，根据切比雪夫不等式：

则：

因为概率：

所以：