大数定律与中心极限定理

切比雪夫不等式

切比雪夫不等式对期望附近的一块区域进行估计:

P(|X-E(X)| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{D(X)}{\varepsilon^{2}}

依概率收敛

X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots 是一个随机变量 序列, a 是一个常数, 若对任何正数 \varepsilon, 有

\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|X_{n}-a\right|<\varepsilon\right\}=1

则称序列 X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots 依概率收敛于 a, 记为 X_{n} \stackrel{p}{\longrightarrow} a

大数定律

大数定律研究在什么条件下随机变量序列的算术平均值收敛于它的均值的期望。

切比雪夫大数定律 X_{1}, X_{2}, \cdots 独立,存在期望及方差,且方差有界 \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_{k}\stackrel{P}{\longrightarrow}\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} E\left(X_{k}\right)
伯努利大数定律 n_{A} \sim B(n, p) \frac{n_{A}}{n}\stackrel{P}{\longrightarrow}p
辛钦大数定律 X_{1}, X_{2}, \cdots 独立同分布,期望为\mu \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_{k}\stackrel{P}{\longrightarrow}\mu

中心极限定理

中心极限定理研究的是在什么条件下,当n \rightarrow \infty时随机变量的和服从正态分布。

列维-林德伯格定理 X_{1}, X_{2}, \cdots 独立,存在期望及方差,且方差有界 \sum_{i=1}^{n} X_{i} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\sim} N\left(n \mu, n \sigma^{2}\right)
\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}-n \mu}{\sqrt{n} \sigma} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\sim}{N(0,1)}
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}-n \mu}{\sqrt{n} \sigma} \leqslant x\right\}=\Phi(x)
棣莫弗-拉普拉斯定理 Y_{n} \sim B(n, p) \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{Y_{n}-n p}{\sqrt{n p(1-p)}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)
posted @ 2021-09-24 10:01:14
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