根据积分的定义，把曲边梯形分割成无穷多个小矩形，这些小矩形的和就是积分。
对于积分 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x ，把积分区域分割成n个小矩形，可知这些小矩形的宽为 \frac{1}{n} ，高为 f(\frac{i}{n}) ，于是有：
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n} \right) \frac{1}{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x
同理，这个原理可以推广到二重积分：
\lim _ { m \rightarrow \infty \atop n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { m n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = 1 } ^ { n } f \left( \frac { i } { m } , \frac { j } { n } \right) = \iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y
\lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } f \left( \frac { i } { n } , \frac { j } { n } \right) = \iint _ { D } f ( x , y ) d x d y
若
g(x)\leqslant f(x) \leqslant h(x)
g(x)=a\\h(x)=a
则必有：
f(x)=a
某些计算题整体计算不方便，但取极小的一段dx，我们可以计算出这一块的值为f(x)dx，那么我们将a,b区间上所有的这些小块相加就是 \int_a^b f(x)dx ,这里的 \int 其实是由sum首字母S演变来的。
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