积分变换

从泰勒级数到傅立叶积分

泰勒级数是用幂级数逼近函数:

f(t)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(t-t_{0}\right)^{n}

傅立叶级数是用三角函数逼近函数:

f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n \omega t+b_{n} \sin n \omega t\right)

既然能用幂级数逼近函数,能用三角函数逼近函数,那么能不能用指数函数逼近函数呢?可以的,用欧拉公式将傅立叶级数中的三角函数替换为指数函数即可:

f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \varphi_{n}(\omega) e^{i n \omega t},\quad \varphi_{n}(\omega)=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-i n \omega t} d t

上式可以凑成定积分的定义,把级数变成定积分:

f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\omega) e^{i \omega t} d \omega,\quad \varphi(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t} d t

这就是傅立叶积分。用第二个公式能将关于t的函数变为关于\omega的函数,称为傅立叶变换。用第二个公式能将关于\omega的函数变为关于t的函数,称为傅立叶逆变换

拉普拉斯变换

对于傅立叶变换,令f(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & t<0 \\ f(t) e^{-\beta t}, & t>0\end{array}\right.得:

F(\omega,\beta)=\int_{0}^{+\infty}f(t) e^{-(\beta+i \omega) t} d t

s=\beta+i \omega,有:

F(s)=\int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-s t} d t

这就是拉普拉斯变换,也称拉氏变换。

常见函数的拉普拉斯变换

f(t) F(s)
单位脉冲 \delta(t) 1
单位阶跃 1(t) 1/s
单位斜坡 t 1/s^2
单位加速度 t^{2} / 2 1/s^3
指数函数 \boldsymbol{e}^{-a t} 1/(s+a)
正弦函数 \sin \omega t \omega /\left(s^{2}+\omega^{2}\right)
余弦函数 \cos \omega t s /\left(s^{2}+\omega^{2}\right)

拉普拉斯变换的性质

线性性质 L\left[a f_{1}(t) \pm b f_{2}(t)\right]=a F_{1}(s) \pm b F_{2}(s)
微分定理 L\left[f^{\prime}(t)\right]=s \cdot F(s)-f(0)
积分定理 L\left[\int f(t) d t\right]=\frac{1}{s} \cdot F(s)+\frac{1}{s} f^{(-1)}(0)
实位移定理 L\left[f\left(t-\tau_{0}\right)\right]=e^{-\tau_{0} \cdot s} \cdot F(s)
复位移定理 L\left[e^{A \cdot t} f(t)\right]=F(s-A)
初值定理 \lim _{t \rightarrow 0} f(t)=\lim _{s \rightarrow \infty} s \cdot F(s)
终值定理 \lim _{t \rightarrow \infty} f(t)=\lim _{s \rightarrow 0} s \cdot F(s)

用拉普拉斯变换解微分方程

对于微分方程:

a_{n} c^{(n)} +a_{n-1} c^{(n-1)}+\ldots+a_{1} c^{\prime}+a_{0} c =b_{m} r^{(m)}+b_{m-1} r^{(m-1)}+\ldots+b_{1} r^{\prime}+b_{0} r

可以对方程左右两端作拉普拉斯变换:

\left(a_{n} s^{n}+\right.\left.a_{n-1} s^{n-1}+\ldots+a_{1} s+a_{0}\right) C(s) =\left(b_{m} s^{m}+b_{m-1} s^{m-1}+\ldots+b_{1} s+b_{0}\right) R(s)

于是有:

C(s)=\frac{b_{m} s^{m}+b_{m-1} s^{m-1}+\ldots+b_{1} s+b_{0}}{a_{n} s^{n}+a_{n-1} s^{n-1}+\ldots+a_{1} s+a_{0}} R(s)

假设输入信号为单位脉冲信号,则R(s)=1,然后拆分成简单函数的拉普拉斯变化:

C(s)= \frac{b_{m} s^{m}+b_{m-1} s^{m-1}+\ldots+b_{0}}{a_{n} s^{n}+a_{n-1} s^{n-1}+\ldots+a_{0}}=\frac{C_{1}}{s-\lambda_{1}}+\frac{C_{2}}{s-\lambda_{2}}+\cdots \frac{C_{n}}{s-\lambda_{n}}

用流数法进行拉普拉斯逆变换:

c(t)=L^{-1}[C(s)]=C_{1} e^{\lambda_{1} t}+C_{2} e^{\lambda_{2} t}+\cdots+C_{n} e^{\lambda_{n} t}


参考:
https://www.bilibili.com/video/BV1wa4y1j7b1

posted @ 2021-10-12 20:09:39
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