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信号与系统（三）连续系统的复频域分析

拉普拉斯变换（拉氏变换）是傅立叶变换的拓展，因为傅立叶变换存在两个问题：

  1. 有的函数没有傅立叶变换
  2. 傅立叶变换假设f(t)的范围是 t\in(-\infty,+\infty) ，即信号起始于无穷远处，起始信号是0。但是现实中很多信号有起始观察点和初始值。

双边拉氏变换

为解决某些函数没有傅立叶变换的问题, 可用一衰减因子 e^{-\sigma t}(\sigma 为实常数) 乘信号 f(t) , 适当选取 \sigma 的值, 使乘积信号 f(t) \mathrm{e}^{-\sigma t} 当 t \rightarrow \infty 时信号幅度趋近于 0 , 从而使 f(t) \mathrm{e}^{-\sigma t} 的傅立叶变换存在：

F_b(\sigma+j \omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-(\sigma+j \omega) t} d t

f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_b(\sigma+j \omega) \mathrm{e}^{(\sigma+j \omega) t} \mathrm{~d} \omega

令 s=\sigma+\mathrm{j} \omega, d \omega=d s / \mathrm{j} ，有：

F_b(s)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-s t} \mathrm{~d} t

f(t)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{j}} \int_{\sigma-\mathrm{j} \infty}^{\sigma+\mathrm{j} \infty} F_b(s) \mathrm{e}^{s t} \mathrm{~d} s

这就是双边拉氏变换。

单边拉氏变换

通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为:

F(s)=\int_{0-}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t

称为单边拉氏变换。反变换为：

f(t)=\left[\frac{1}{2 \pi \mathrm{j}} \int_{\sigma-\mathrm{j} \infty}^{\sigma+\mathrm{j} \infty} F(s) \mathrm{e}^{s t} \mathrm{~d} s\right]\varepsilon(t)

常见函数的拉普拉斯变换

f(t) F(s)
单位脉冲 \delta(t) 1
单位阶跃 1(t) 1/s
单位斜坡 t 1/s^2
单位加速度 t^{2} / 2 1/s^3
指数函数 \boldsymbol{e}^{-a t} 1/(s+a)
正弦函数 \sin \omega t \omega /\left(s^{2}+\omega^{2}\right)
余弦函数 \cos \omega t s /\left(s^{2}+\omega^{2}\right)

对于前4种，有个记忆技巧，时域求导，复域乘s，时域积分，复域除s。

拉普拉斯变换的性质

线性性质 L\left[a f_{1}(t) \pm b f_{2}(t)\right]=a F_{1}(s) \pm b F_{2}(s)
微分定理 L\left[f^{\prime}(t)\right]=s \cdot F(s)-f(0)
积分定理 L\left[\int f(t) d t\right]=\frac{1}{s} \cdot F(s)+\frac{1}{s} f^{(-1)}(0)
实位移定理 L\left[f\left(t-\tau_{0}\right)\right]=e^{-\tau_{0} s} \cdot F(s)
复位移定理 L\left[e^{A t} f(t)\right]=F(s-A)
初值定理 \lim _{t \rightarrow 0} f(t)=\lim _{s \rightarrow \infty} s \cdot F(s)
终值定理 \lim _{t \rightarrow \infty} f(t)=\lim _{s \rightarrow 0} s \cdot F(s) \quad \text{(终值存在时才可以用)}
posted @ 2021-12-11 20:20:25
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