三相电路

复数

复数的代数形式:

F=a+j b

复数的三角形式:

F=|F|(\cos \theta+j \sin \theta)

复数的指数形式(可由三角形式结合欧拉公式得出):

F=|F| \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}

复数的模、幅角形式:

F=|F|  \enclose{phasorangle}{\theta}

其实这四种表示的都是复平面中的向量,结合图形就很容易理解和相互转换:

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复数的加减法用代数形式比较方便:

F_{1}=a_{1}+\mathrm{j} b_{1}, \quad F_{2}=a_{2}+\mathrm{j} b_{2}

F_{1} \pm F_{2}=\left(a_{1} \pm a_{2}\right)+\mathrm{j}\left(b_{1} \pm b_{2}\right)

复数的乘除法用指数形式和极坐标形式比较方便:

F_{1}=\left|F_{1}\right|\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta_{1}}, \quad F_{2}=\left|F_{2}\right| \mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta_{2}}

F_{1} F_{2} =\left|F_{1}\right|\left|F_{2}\right| \mathrm{e}^{\mathrm{j}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)}

对于指数形式,乘以\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}等于把复数A逆时针旋转一个角度,而A的模值不变,所以\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}称为旋转因子。根据欧拉公式, 可得\mathrm{e}^{\mathrm{j} \frac{\pi}{2}}=\mathrm{j}, \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \frac{\pi}{2}}=-\mathrm{j}, \mathrm{e}^{\mathrm{j} \pi}=-1。因此j、-j、-1都可以看成旋转因子,分别旋转\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2},\pi

相量

对于电路中的所有节点,频率都是相同的,不同的是幅值、初相角。

i(t)=I_{\mathrm{m}} \sin \left(\omega t+\psi_{i}\right)=\sqrt{2}~I \sin \left(\omega t+\psi_{i}\right)

u(t)=U_{\mathrm{m}} \sin \left(\omega t+\psi_{u}\right)=\sqrt{2}~U \sin \left(\omega t+\psi_{u}\right)

线性非时变电路在正弦电源激励下,各支路电压、电流是与激励同频率的正弦量,当电路中存在有多个同频率的正弦激励时,该结论仍然成立。于是我们在计算正弦稳态电路时可以不考虑频率,只考虑幅值和相角。复数刚好是由一个长度和一个角度组成,即复数的模和幅角。这样正弦信号和复平面刚好对应,复数的性质便于计算,于是我们常常用复数表示正弦信号,这就是相量法。

向量域中电流和电压:

i(t)=\sqrt{2}~I e^{i \psi}

u(t)=\sqrt{2}~Ue^{i \psi}

向量域中,电感和电容都相当于电阻:

\dot{U}_L=j \omega L \dot{I}_L

\dot{U}_C=-j\frac{1}{\omega C}\dot{I}_C

其中\omega L\frac{1}{\omega C}的单位都是欧姆,本称为感抗和容抗。

从电感和电压的电流、电压的关系式中可以看出:

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我们也可以从感性理解:


posted @ 2021-10-20 18:52:11
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