正弦稳态电路

正弦量

正弦量就是电压或电流呈正弦或余弦变换,表达式如下:

u(t)=U_{\mathrm{m}} \sin \left(\omega t+\psi\right)

初相角 |\psi|\leq\pi U_{\mathrm{m}} 是幅值,也就是最大值。由于电压是波动的,我们常常将电压等效成一个直流电压,这就是有效值:

I_m = \sqrt{2}I

所以

u(t)=U_{\mathrm{m}} \sin \left(\omega t+\psi_{u}\right)=\sqrt{2}~U \sin \left(\omega t+\psi_{u}\right)

对于两个正弦量,如何判断谁领先谁?只需要用一个正弦量的初相角减另一个正弦量的初相角,结果为正就是领先,结果为负就是落后。注意,我们规定向相位差:

|\psi_{1}-\psi_{2}|\leq\pi

相量

对于电路中的所有节点,频率都是相同的,不同的是幅值、初相角。

i(t)=I_{\mathrm{m}} \sin \left(\omega t+\psi_{i}\right)=\sqrt{2}~I \sin \left(\omega t+\psi_{i}\right)

u(t)=U_{\mathrm{m}} \sin \left(\omega t+\psi_{u}\right)=\sqrt{2}~U \sin \left(\omega t+\psi_{u}\right)

线性非时变电路在正弦电源激励下,各支路电压、电流是与激励同频率的正弦量,当电路中存在有多个同频率的正弦激励时,该结论仍然成立。于是我们在计算正弦稳态电路时可以不考虑频率,只考虑幅值和相角。复数刚好是由一个长度和一个角度组成,即复数的模和幅角。这样正弦信号和复平面刚好对应,复数的性质便于计算,于是我们常常用复数表示正弦信号,这就是相量法。

向量域中电流和电压:

i(t)=\sqrt{2}~I e^{i \psi}

u(t)=\sqrt{2}~Ue^{i \psi}

向量域中电阻、电感和电容的电压电流关系:

\dot{U}_R=R \dot{I}_R

\dot{U}_L=j \omega L \dot{I}_L

\dot{U}_C=-j\frac{1}{\omega C}\dot{I}_C

其中 \omega L \frac{1}{\omega C} 的单位都是欧姆,被称为感抗和容抗。

在一端口网络中,电阻、感抗、容抗都是对电流的阻碍作用,把他们和在一起就是阻抗

Z=R+jX=|Z|\angle{\varphi}

其中,虚部X被称为电抗。根据复数的几何意义,可得阻抗三角形:

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向量图

对于复数的指数形式,乘以 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} 等于把复数A逆时针旋转一个角度,而A的模值不变,所以 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} 称为旋转因子。根据欧拉公式, 可得 \mathrm{e}^{\mathrm{j} \frac{\pi}{2}}=\mathrm{j}, \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \frac{\pi}{2}}=-\mathrm{j}, \mathrm{e}^{\mathrm{j} \pi}=-1 。因此j、-j、-1都可以看成旋转因子,分别旋转 \frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2},\pi

从电感和电压的电流、电压的关系式中可以看出:

image

我们也可以从感性理解:

功率

正弦激励下,电阻会把电能转换为热能,吸收功率的叫做有功功率

正弦激励下,电感、电容一会充电、一会放电,也就是一会吸收功率,一会释放功率,总吸收功率为零,也就是说它在和电源交换功率。我们用无功功率描述它和电源交换功率的速率。

对于电源来说,必须要同时提供有功功率和无功功率,总和被称作视在功率。

有功功率:P=U I \cos \varphi

无功功率:Q=U I \sin \varphi

视在功率:S=U I

它们也符合三角形关系:

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posted @ 2021-12-18 12:25:50
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