一阶电路和二阶电路

大致的来说，一阶电路就是包含一个储能元件的电路，二阶电路就是包含两个储能元件的电路。

一阶电路

解一阶电路的微分方程可得：

电容 电感
零输入响应 u_{C}(t)=U_{0} e^{-\frac{t}{\tau}} i_L (t)=I_{0} e^{-\frac{t}{\tau}}
零状态响应 u_{C}(t)=U_{\mathrm{S}}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right) i_{L}(t)=I_{\mathrm{S}}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right)
全响应 u_{C}(t)=U_{0} \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}+U_{\mathrm{S}}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{1}{\tau}}\right) i_{L}(t)=I_{0} \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}+I_{\mathrm{S}}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{1}{\tau}}\right)

通过观察可知：

全响应= 零输入响应 + 零状态响应

还可以观察到，只需知道初值 f(0^{+}) 、稳态值 f(\infty) 和时间常数 \tau ，无需列写微分方程就可以写出全响应 f(t) ,:

f(t)=f(\infty)+\left[f\left(0^{+}\right)-f(\infty)\right] \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}

稳态值 f(\infty) 可以看出来。RC电路 \tau=RC ，RL电路 \tau=L/R 。初值 f(0^{+}) 的求解过程如下：

二阶电路

零输入响应 \alpha^{2}>\omega_{0}^{2} u_{C}=A \mathrm{e}^{p_{1} t}+B \mathrm{e}^{p_{2} t}
\alpha^{2}=\omega_{0}^{2} u_{C}=A \mathrm{e}^{p_{1} t}+B t \mathrm{e}^{p_{2} t}
\alpha^{2}<\omega_{0}^{2} u_{C}=K \mathrm{e}^{-\alpha t} \sin \left(\omega_{\mathrm{d}} t+\theta\right)
\alpha=\mathbf{0} u_{C}=K \sin \left(\omega_{\mathrm{d}} t+\theta\right)
零状态响应 解对应微分方程
全响应 解对应微分方程

状态方程：

\left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d} u_{c}}{\mathrm{~d} t} \\ \frac{\mathrm{d} i_{L}}{\mathrm{~d} t}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{R C} & \frac{1}{C} \\ -\frac{1}{L} & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u_{C} \\ i_{L}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0 \\ \frac{1}{L}\end{array}\right] e(t)

\dot{x}=[A][x]+[B][u]

image

输出方程：

\left[\begin{array}{c}u_{L} \\ i_{c}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ -1 / R & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}u_{c} \\ i_{L}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right] u_{\mathrm{s}}(t)

[y]=[C][x]+[D][u]

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posted @ 2021/11/17 18:12:35