大致的来说，一阶电路就是包含一个储能元件的电路，二阶电路就是包含两个储能元件的电路。

一阶电路

解一阶电路的微分方程可得：

	电容	电感
零输入响应	$u_{C}(t)=U_{0} e^{-\frac{t}{\tau}}$	$i_L (t)=I_{0} e^{-\frac{t}{\tau}}$
零状态响应	$u_{C}(t)=U_{\mathrm{S}}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right)$	$i_{L}(t)=I_{\mathrm{S}}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right)$
全响应	$u_{C}(t)=U_{0} \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}+U_{\mathrm{S}}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{1}{\tau}}\right)$	$i_{L}(t)=I_{0} \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}+I_{\mathrm{S}}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{1}{\tau}}\right)$

通过观察可知：

$全响应= 零输入响应 + 零状态响应$

还可以观察到，只需知道初值 $f(0^{+})$ 、稳态值 $f(\infty)$ 和时间常数 $\tau$ ，无需列写微分方程就可以写出全响应 $f(t)$ ,:

$f(t)=f(\infty)+\left[f\left(0^{+}\right)-f(\infty)\right] \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}$

稳态值 $f(\infty)$ 可以看出来。RC电路 $\tau=RC$ ，RL电路 $\tau=L/R$ 。初值 $f(0^{+})$ 的求解过程如下：

求换路之前电容的电压、电感的电流
换路后，用电压源替换电容，用电流源替换电感，从而求出初值。

二阶电路

零输入响应	$\alpha^{2}>\omega_{0}^{2}$	$u_{C}=A \mathrm{e}^{p_{1} t}+B \mathrm{e}^{p_{2} t}$
	$\alpha^{2}=\omega_{0}^{2}$	$u_{C}=A \mathrm{e}^{p_{1} t}+B t \mathrm{e}^{p_{2} t}$
	$\alpha^{2}<\omega_{0}^{2}$	$u_{C}=K \mathrm{e}^{-\alpha t} \sin \left(\omega_{\mathrm{d}} t+\theta\right)$
	$\alpha=\mathbf{0}$	$u_{C}=K \sin \left(\omega_{\mathrm{d}} t+\theta\right)$
零状态响应	解对应微分方程
全响应	解对应微分方程

状态方程：

$\left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d} u_{c}}{\mathrm{~d} t} \\ \frac{\mathrm{d} i_{L}}{\mathrm{~d} t}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{R C} & \frac{1}{C} \\ -\frac{1}{L} & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u_{C} \\ i_{L}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0 \\ \frac{1}{L}\end{array}\right] e(t)$

$\dot{x}=[A][x]+[B][u]$

输出方程：

$\left[\begin{array}{c}u_{L} \\ i_{c}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ -1 / R & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}u_{c} \\ i_{L}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right] u_{\mathrm{s}}(t)$

$[y]=[C][x]+[D][u]$

一阶电路和二阶电路

一阶电路

二阶电路

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