对于一个线性时不变系统(Linear and Time-Invariant System),给定一个输入信号,输出信号是什么?
信号与系统研究的就是这个问题。它分了三步解决这个问题:
- 研究基本信号及基本信号的响应
- 把f(t)分解成基本信号,分别求这些基本信号的响应
- 把这些基本信号的响应相加,得到f(t)的响应
基本信号
基本信号就两个阶跃函数、冲激函数。
初值问题
高等数学中解微分方程的初值y(0-)和y(0+)是相等的,但是我们引入冲激函数之后,在0点可能发生跳变,y(0-)和y(0+)是不相等。
我们一般知道系统未加激励时候的初值,即,如何求加激励后的初值呢?
例子:
已知 , 求 和
将代入得:
等式右边有,所以等式左边必有一个函数包含,而等式右边没有,所以只能是包含。
是冲激函数,则是阶跃,再t=0点是连续的,否则就是冲激函数了。
两端积分
由上式得
于是
基本信号的响应
求基本信号的响应的基本思路就是用高等数学的方法解微分方程。对于线性定常系统有:
零状态响应是指系统储能为零时由外加激励引起的系统响应,也就是系统起始状态为0,完全由外加信号激励所得的系统响应。零输入响应就是系统在外界激励为0时由系统储能引起的响应。
例子:
已知 , 求该系统的零输入响应 和零状态响应。
解
可得零输入响应:
初值代入
即
解可得零状态响应
卷积积分
回顾定积分的定义:
定积分是将曲边梯形分成无数个矩形,将着无数个矩形相加就是面积。卷积是将曲线分成无数个线段,将这无数个线段相加就是曲线。
这里的p(t)是我们构造的线段,就是一个门信号,它的面积始终为1。若p(t)的宽度为,则p(t)等于。 于是在处,宽度为且高等于的信号为:
累加再取极限可转换为积分形式,因为p(t)当时就是,于是有就是f(x):
定义卷积:
任意信号的响应
给定一个线性定常系统,求出它的脉冲响应:
任意信号f(t)可以拆分成基本信号的线性组合。根据叠加原理任意信号f(t)的响应y(t)就是基本信号的响应h(t)的线性组合: