信号与系统(一)连续系统的时域分析

对于一个线性时不变系统(Linear and Time-Invariant System),给定一个输入信号,输出信号是什么?

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信号与系统研究的就是这个问题。它分了三步解决这个问题:

  1. 研究基本信号及基本信号的响应
  2. 把f(t)分解成基本信号,分别求这些基本信号的响应
  3. 把这些基本信号的响应相加,得到f(t)的响应

基本信号

基本信号就两个阶跃函数、冲激函数。

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初值问题

高等数学中解微分方程的初值y(0-)和y(0+)是相等的,但是我们引入冲激函数之后,在0点可能发生跳变,y(0-)和y(0+)是不相等。

我们一般知道系统未加激励时候的初值,即 y(0-),f^{\prime}(0-) ,如何求加激励后的初值 y(0+),f^{\prime}(0+) 呢?

例子:

y^{\prime \prime}(t)+3 y^{\prime}(t)+2 y(t)=2 f^{\prime}(t)+6 f(t)

已知 y\left(0_{-}\right)=2, y^{\prime}\left(0_{-}\right)=0, f(t)=\varepsilon(t) , 求 y\left(0_{+}\right) y^{\prime}\left(\theta_{+}\right)

f(t)=\varepsilon(t) 代入得:

y^{\prime \prime}(t)+3 y^{\prime}(t)+2 y(t)=2 \delta(t)+6 \varepsilon(t)

等式右边有 \delta(t) ,所以等式左边必有一个函数包含 \delta(t) ,而等式右边没有 \delta^{\prime}(t) ,所以只能是 y^{\prime \prime}(t) 包含 \delta(t)

y^{\prime \prime}(t) 是冲激函数,则 y^{\prime}(t) 是阶跃, y(t) 再t=0点是连续的,否则 y^{\prime}(t) 就是冲激函数了。

\begin{gathered} y^{\prime}\left(0_{+}\right) \neq y^{\prime}\left(0_{-}\right) \\ y\left(0_{+}\right)=y\left(0_{-}\right)=2 \end{gathered}

两端积分

\int_{0-}^{0+} y^{\prime \prime}(t) d t+3 \int_{0-}^{0+} y^{\prime}(t) d t+2 \int_{0-}^{0+} y(t) d t=2 \int_{0-}^{0+} \delta(t) d t+6 \int_{0-}^{0+} \varepsilon(t) d t

由上式得

y^{\prime}\left(0_{+}\right)-y^{\prime}\left(0_{-}\right)=2

于是

y^{\prime}\left(0_{+}\right)=2

基本信号的响应

求基本信号的响应的基本思路就是用高等数学的方法解微分方程。对于线性定常系统有:

全响应 = 零输入响应 + 零状态响应

零状态响应是指系统储能为零时由外加激励引起的系统响应,也就是系统起始状态为0,完全由外加信号激励所得的系统响应。零输入响应就是系统在外界激励为0时由系统储能引起的响应。

例子:

y^{\prime \prime}(t)+3 y^{\prime}(t)+2 y(t)=2 f^{\prime}(t)+6 f(t)

已知 y\left(0_{-}\right)=2, y^{\prime}\left(0_{-}\right)=0, f(t)=\varepsilon(t) , 求该系统的零输入响应 和零状态响应。

y^{\prime \prime}(t)+3 y^{\prime}(t)+2 y(t)=0

可得零输入响应:

y_{z i}(t)=4 e^{-t}-2 e^{-2 t}

初值代入

y^{\prime \prime}(t)+3 y^{\prime}(t)+2 y(t)=2 \delta(t)+6 \varepsilon(t)

y^{\prime \prime}(t)+3 y^{\prime}(t)+2 y(t)=6

解可得零状态响应

y_{z s}(t)=-4 e^{-t}+e^{-2 t}+3

卷积积分

回顾定积分的定义:

S=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(i\Delta) \Delta=\int_{a}^{b} f(x) d x

定积分是将曲边梯形分成无数个矩形,将着无数个矩形相加就是面积。卷积是将曲线分成无数个线段,将这无数个线段相加就是曲线。

f(x)=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n \Delta) \Delta p(t-n \Delta)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \delta(t-\tau) \mathrm{d} \tau

这里的p(t)是我们构造的线段,就是一个门信号,它的面积始终为1。若p(t)的宽度为 \Delta ,则p(t)等于 \frac{1}{\Delta} 。 于是在 t=n \Delta 处,宽度为 \Delta 且高等于 f(n \Delta) 的信号为:

\frac{p(t-n \Delta)}{\frac{1}{\Delta}}f(n \Delta)=f(n \Delta) \Delta p(t-n \Delta)

累加再取极限可转换为积分形式,因为p(t)当 \Delta \rightarrow 0 时就是 \delta ,于是有就是f(x):

\hat{f}(x)=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n \Delta) \Delta p(t-n \Delta)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \delta(t-\tau) \mathrm{d} \tau

定义卷积:

f_{1}(t)^{*} f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) \mathrm{d} \tau

任意信号的响应

给定一个线性定常系统,求出它的脉冲响应:

\delta(t) \Longrightarrow h(t)

任意信号f(t)可以拆分成基本信号 \delta(t) 的线性组合。根据叠加原理任意信号f(t)的响应y(t)就是基本信号 \delta(t) 的响应h(t)的线性组合:

f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(t-\tau) \mathrm{d} \tau\qquad \Longrightarrow\qquad y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) h(t-\tau) \mathrm{d} \tau


posted @ 2021-12-11 17:13:03
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