对于一个线性时不变系统(Linear and Time－Invariant System)，给定一个输入信号，输出信号是什么？

信号与系统研究的就是这个问题。它分了三步解决这个问题：

1. 研究基本信号及基本信号的响应
2. 把f(t)分解成基本信号，分别求这些基本信号的响应
3. 把这些基本信号的响应相加，得到f(t)的响应

基本信号

基本信号就两个阶跃函数、冲激函数。

注意：它们都是连续的函数，前面的是生活中常见的信号，信号变化都需要时间的嘛，但是我们搞研究，就取的比较极端。所以它们还是连续的。

阶跃函数的高度为1。冲激函数的面积为1。

阶跃函数与冲激函数的关系：

线性时不变系统的性质

线性:

时不变指，在输入信号相同的情况下，今天用这个系统，和明天用这个系统，输出一样：

微分性质和积分性质：若，则

积分就是累加，根据线性性质，输入相加，输出也相加，所以输入积分，输出也积分。微分是积分的逆运算，所以也成立。

系统的状态

系统是有记忆的，比如电容、电感之类的。这种记忆我们称为系统的状态。

我们用一组数描述系统的状态。表示系统的初始状态。

因为系统有记忆，系统对一个信号的响应与系统的初始状态有关。

• 没有输入信号，完全由系统的状态产生的响应，称为零输入响应。系统是由记忆的，所以系统的状态也算一种特殊的输入信号。
• 系统没有初始状态，完全由输入信号产生的响应，称为零状态响应。

我们分析的系统都是线性系统，根据线性系统的性质：

解微分方程求系统响应

在微分方程中：
初始状态是指系统在激励尚未接入的时刻的响应值值,该值反应了系统的历史情况，而与激励无关。

初始值是系统在时接入激励，其响应在时刻的值，即。

解微分方程的时候我们需要代入初始值，但通常我们已知的是初始状态，所以与高等数学解微分方程有所不同的是，还需要一步通过初始状态求初始值。

响应的分类

固有响应：只与系统有关，与输入无关的响应。
强迫响应：与输入有关的响应。

暂态响应：时，响应趋于0。
稳态响应：时，响应会稳定下来。

冲激响应与阶跃响应

所引起的零状态响应记为。
所引起的零状态响应记为。

假设能求下式中的响应

根据线性性质，输入变为，输出变为，即下式

的解为：

怎么求解呢？先分析出零初始状态，然后用高等数学解微分方程的方法求解。

信号的时域分解

第一步，把连续信号用很多个宽度为的方波代表：

分解成的第n段方波记为，的高度为，移动到的位置为：

整体方波，就是把每一段方波累加：

当时，就是。

根据定积分的定义

可得:

卷积公式

根据线性系统的性质：

我们现在实现了求任意信号的输出。

输入输出都用到了形如的公式，于是我们定义：

它的意思是信号可以分解成。

对于任意信号的响应，为：