信号与系统(二)连续系统的频域分析

三角函数的正交性

两个向量正交:

\vec{a}=(1,2,5)

\vec{b}=(1,2,-1)

\vec{a} \cdot \vec{b}=1 \cdot 1+2 \cdot 2-5 \cdot 1=0

拓展一下:

\vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3} \ldots \ldots a_{n}\right)

\vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots b_{n}\right)

\vec{a} \cdot \vec{b} =a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots a_{n} b_{n} =\sum_{j=1}^{n} a_{i} b_{i}

把正交的概念拓展到函数,把函数想象成无穷个点组成的向量,如果两个函数正交,他们的每个点都要相互相乘再累积会得零:

a=f(x)

b=g(x)

a \cdot b=\int_{x_{0}}^{x_{1}} f(x) g(x) d x=0

这就是函数正交,当函数正交时,他们乘积的积分等于0。

正交函数集就是里面都是正交的函数,可以理解成n纬函数空间的坐标轴:

傅立叶级数

傅立叶级数就是信号在三角函数集上的分解

f(t)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \cos \left(n \Omega t+\varphi_{n}\right)

傅立叶级数的指数形式

f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} \mathrm{e}^{j n \Omega t}

F_{n}=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \mathrm{e}^{-j n \Omega t} \mathrm{~d} t

表明:任意周期信号 f(t) 可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。 F_{n} 是频率为 n \Omega 的分量的系数, F_0=\frac{A_0}{2} 为直流分量。

信号的频谱

任意周期信号 f(t) 的傅立叶级数的指数形式

f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} \mathrm{e}^{j n \Omega t}

对于这个式子我们发现,只有 F_n 是未知数耶,也就是说只要确定了 F_n ,周期信号 f(t) 就确定了。我们来换一种表达方式,画一个 F_n n \Omega 的关系:

image

这种表达方式里面没有t变量,但是也能确定所有的 F_n 给了时域信号有且仅有一个频谱与之对应,给了频谱有且仅有一个时域信号与之对应,所以频谱与时域信号是等价的。

非周期信号相当于 T \rightarrow \infty ,则 F_n \rightarrow 0,n \Omega \rightarrow \omega,\Omega\rightarrow d\omega F_n 是无穷小没法画图了,所以我们将 F_n T 作为参数:

F(j \omega)=\lim _{T \rightarrow \infty} F_{n} T=\lim _{T \rightarrow \infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \mathrm{e}^{-j n \Omega t} \mathrm{~d} t=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j \omega t} \mathrm{~d} t

因为凑 F_{n}T ,所以在 f(t) 式中还要乘 \frac{1}{T} ,当 T \rightarrow \infty 时, \frac{1}{T}=\frac{\Omega}{2 \pi} \rightarrow \frac{\mathrm{d} \omega}{2 \pi} ,于是有:

f(t)=\lim _{T \rightarrow \infty}\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n}T \mathrm{e}^{j n \Omega t}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j \omega) e^{j \omega t} d \omega

傅立叶变换

有前面的推导我们知道,频域和时域是等价的,傅立叶变换和傅立叶逆变换能在频域和时域直接转换:

f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j \omega) e^{j \omega t} d \omega

F(j \omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j \omega t} \mathrm{~d} t

任意信号的响应

基本信号 \mathrm{e}^{j \omega t} 的响应:

y(t)=H(j \omega) \cdot \mathrm{e}^{j \omega t}

其中 H(j \omega) 是线性时不变系统的傅立叶变换。

任意信号f(t)可以拆分成基本信号 e^{j \omega t} 的线性组合,所以任意信号f(t)的响应就是基本信号 e^{j \omega t} 的响应的线性组合:

f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j \omega) e^{j \omega t} d \omega \qquad \Longrightarrow\qquad y(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j \omega) H(j \omega) e^{j \omega t} d \omega

上式中y(t)是对 Y(j \omega) 做傅立叶逆变换:

Y(j \omega) = F(j \omega) H(j \omega)

其中 F(j \omega) 是f(t)的傅立叶变换, H(j \omega) 是线性时不变系统的傅立叶变换,所以我们求解任意信号f(t)的响应y(t)时可以:

  1. f(t) 的傅立叶变换 F(j \omega)
  2. 求线性时不变系统的傅立叶变换 H(j \omega)
  3. 计算 Y(j \omega) = F(j \omega) H(j \omega)
  4. Y(j \omega) 作傅立叶逆变换得到 y(t)

posted @ 2021-12-11 18:25:35
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