函数正交的概念
在区间的两个函数和可以看成是由n个点组成的，映射到n维向量空间可得两个向量：
若这两个向量垂直，有：
上式中的 不就是嘛！！事实上，绝大多数满足正交的函数都是复函数，所以我们将正交的概念扩展到复平面：
【定义】在区间的两个函数和，若满足：
则和在区间正交。其中是的共轭函数。
广义傅立叶级数
函数映射到向量空间，一定可以分解成两两相互垂直的向量的线性组合：
参数也可以用几何方法计算出来：
既然函数映射到向量空间可以分解，那么在函数空间一定也可以分解为两两相互正交的函数的线性组合：
这个公式被称为广义傅立叶级数。其中，是完备正交函数集。参数也可以类别向量的计算方法得到：
傅立叶变换
我们找一个具体的完备正交函数集的例子：
根据广义傅立叶级数，可得：
它的参数是一个关于的函数：
有趣的地方来了，分解后的式子中，是参数，只要确定了，就确定了。也就是说函数与函数存在一一对应的关系。
是关于t的函数，我们说这是时域里的函数。是关于的函数，我们说这是频域里的函数。现在一个时域函数 ，不仅在向量域有与之对应的向量，还在频域有与之对应的函数。
任意信号的响应
基本信号，直接代入指数形式的傅立叶级数，可求出响应为。与时域类似，由线性系统的性质，可推导出任意信号的响应：
注：因为t是从开始的，而，我们认为初始状态为0，所以这里的是全响应。
求解任意信号f(t)的响应y(t)的步骤：
- 求的傅立叶变换
- 求线性时不变系统的傅立叶变换
- 计算
- 对作傅立叶逆变换得到
周期函数的傅立叶级数
上面我们把f(t)分解为，这是个复函数，实际运用比较难，能不能把f(t)分解为实数函数呢？当f(t)复合特定条件的时候，是可以将f(t)分解为实函数的线性组合的：
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率为，当满足狄里赫利条件是，可向三角函数集分解：
对应的参数为：