三角函数的正交性
两个向量正交:
拓展一下:
把正交的概念拓展到函数,把函数想象成无穷个点组成的向量,如果两个函数正交,他们的每个点都要相互相乘再累积会得零:
这就是函数正交,当函数正交时,他们乘积的积分等于0。
正交函数集就是里面都是正交的函数,可以理解成n纬函数空间的坐标轴:
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三角函数集
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虚指数函数集
傅立叶级数
傅立叶级数就是信号在三角函数集上的分解
- 为直流分量;
- 称为基波或一次谐波,角频率与原周期信号相同;
- 称为二次谐波;
- 称为n次谐波。
傅立叶级数的指数形式
表明:任意周期信号可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。 是频率为的分量的系数, 为直流分量。
信号的频谱
任意周期信号的傅立叶级数的指数形式
对于这个式子我们发现,只有是未知数耶,也就是说只要确定了,周期信号就确定了。我们来换一种表达方式,画一个与的关系:
这种表达方式里面没有t变量,但是也能确定所有的。给了时域信号有且仅有一个频谱与之对应,给了频谱有且仅有一个时域信号与之对应,所以频谱与时域信号是等价的。
非周期信号相当于,则,是无穷小没法画图了,所以我们将作为参数:
因为凑,所以在式中还要乘,当时,,于是有:
傅立叶变换
有前面的推导我们知道,频域和时域是等价的,傅立叶变换和傅立叶逆变换能在频域和时域直接转换:
任意信号的响应
基本信号的响应:
其中是线性时不变系统的傅立叶变换。
任意信号f(t)可以拆分成基本信号的线性组合,所以任意信号f(t)的响应就是基本信号的响应的线性组合:
上式中y(t)是对做傅立叶逆变换:
其中是f(t)的傅立叶变换,是线性时不变系统的傅立叶变换,所以我们求解任意信号f(t)的响应y(t)时可以:
- 求的傅立叶变换
- 求线性时不变系统的傅立叶变换
- 计算
- 对作傅立叶逆变换得到