微分算子

对于非齐次方程:

定义D为求导，为积分。则上式可写为：

从而可推导出特解为：

根据f(x)的不同，我们分成5种情况，下文将逐个讨论。

第一种情况

这种情况直接用替换D，例：

若用替换D后分母为0，需将分母求导，求导后在y的前面乘以x，例：

第二种情况

这种情况用替换,例：

对于分母中出现D的，可用平方差公式配出,例：

第三种情况

这种情况用多项式除法处理一下即可，例：

第四种情况

运用位移公式将指数提前，后面就变成前三种情况了：

例子：

第五种情况

这种情况用欧拉公式把三角函数变换成指数函数

替换后就是前文讲过的情况了。根据欧拉公式，若替换成，则多了个虚部，所以结果只取实部；若替换成，则多了个实部，所以结果只取虚部。

例：

若把上题中改为，就取虚部：