时域数学模型 - 微分方程

右边是输入及输入的导数，左边是输出及输出的导数。

为什么自动控制系统的数学模型是微分方程？为什么是长这个样子的微分方程？
我的理解：因为经典控制理论只能解决线性定常系统。满足这个条件的与的数学关系式，最复杂就只能写成这个样子了。不信你再随便加点啥就不满足线性定常了。

复域数学模型 - 传递函数

将时域数学模型微分方程左右两边同时做拉氏变换，可以得到输入与输出的拉氏变换

我的理解：时域与复域一一对应，时域内的传递函数能作为系统的模型，拉氏变换后也一定可以作为系统的模型。

我们还会发现，在时域中与的关系好复杂，但是在复域中，与的关系变的简单的多，可以写成。输入乘以一个系数就变成输出了，输入与输出的关系变的如此简单明了，那个系数可以理解成系统对输入的一些操作，与输入和输出都无关，只代表系统的性质。这是绝佳的系统数学模型呀。

于是定义复域数学模型，称为传递函数：

一般形式：

将传递函数分子、分母最高次项系数均化为1，称为首1标准型：

若将首1标准型分子、分母因式分解可写为：

此时称为零点，称为极点。即传递函数分子的根称为零点，分母的根称为极点。

将传递函数分子、分母最低次项系数均化为1，称为尾1标准型：

这里，K称为增益。

注意：最低次项不一定是常数项。所以尾1标准型可能是这样的：

从图中可以看出，建模有两条路径：

有matlab帮忙的话，感觉两种方案都行呀。不过如果手动操作的话，因为消微分方程的中间变量实在是太复杂了，所以绝大多数情况使用的是第二种方法。

元部件的微分方程，其实仔细分析一下元部件输入和输出的关系，并不难写出来。
元部件的传递函数，无外乎那几种典型环节，熟练之后一眼就能看出来。

- 特征式
- 去除与第条前向通路接触的回路，剩余回路构成的特征式
- 前向通路的条数
- 第条前向通路的总增益
- 所有不同回路的回路增益之和
- 两两互不接触回路的回路增益之和
- 三个互不接触回路的回路增益之和

注意，开环传递函数不是指开环系统的传递函数，自动控制几乎不研究开环系统。这里的开环控制传递函数是指闭环系统，把闭环打断之后，将前向通路与反馈通路上的传递函数乘在一起。

对于上图的控制系统，常用的传递函数有这么几个：

其中，可以看成“人为”地断开系统的主反馈通路，将前向通路与反馈通路上的传递函数乘在一起，所以称为系统的开环传递函数。开环传递函数对应的增益称为开环增益。