根轨迹方程

根轨迹指闭环传递函数的特征方程的根的轨迹。
要画根的轨迹，首先要把根解出来呀，其实就是求特征方程的解。时域判定高阶系统稳定性的时候也遇到过解特征的根的问题，劳斯判据绕开了解特征方程的根。复域法，直接用复变函数的内容解根，设

求特征方程的根，相当于求

其中开环传递函数化成首1标准型后的参数称为根轨迹增益。

根据复变函数的定义可以得到模值条件和相角条件：

即：

虽然我们还是不能解出来根的准确表达式，但是我们已经找到了根轨迹与开环极点、开环零点的关系。利用这个关系可以证明出下面的根轨迹法则。

根轨迹法则

• 法则1 根轨迹的起点和终点
  根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环极点个数大于开环零点个数，多出的根轨迹终止于无穷远处。

• 法则2 对称性和连续性
  根轨迹连续且对称于实轴。

• 法则3 实轴上的根轨迹
  从实轴上最右端的开环零、极点算起，奇数开环零、 极点到偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。

• 法则4 根之和
  时，闭环根之和保持一个常值。

• 法则5 终止于无穷远的根轨迹的渐近线

• 法则6 分离点d

• 法则7 与虚轴交点
  将，带入特征方程，即可解出与虚轴交点

• 法则8 出射角/入射角 (起始角/终止角)

• 定理：若系统有2个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在根轨迹， 则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。

参数根轨迹

以上都是特征方程的根随K变化而产生的轨迹。若要分析特征方程的根随其它参数变换产生的轨迹，可以构造一个等效开环传递函数，这个等效开环传递函数的特征方程与我们分析的系统的特征方程一样，不同点在于把需要变换的参数放到分子上。例如：

要分析a变换时的根轨迹，可构造等效开环传递函数：

它们的特征方程都是：

所以根轨迹是一样的，从而我们将a变换转变成了K变换。