自动控制原理（四）频域分析

复数的模和辐角

z=a+bi

表示在复平面上为：

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模就是向量的长度，辐角就是向量与实轴的夹角：

|z|=\sqrt{a^2+b^2}

\angle z=\arctan \frac{b}{a} = \theta

分数的模和辐角:

\left|\frac{a+bi}{c+di}\right| = \frac{|a+bi|}{|c+di|}

\angle\frac{a+bi}{c+di} = \angle(a+bi)-\angle(c+di)

乘积的模和辐角：

\left|(a+bi)(c+di)\right|=\left|(a+bi)\right| \cdot\left|(c+di)\right|

\angle[(a+bi)(c+di)]=\angle (a+bi)+\angle(c+di)

s平面和G平面

s平面和G平面都是复平面。

s平面中的点，对应的是传递函数中的s，相当于传递函数中的自变量。

G平面中的点，对应的是频率特性，就是把整个频率特性表达式当成一个复数，G平面中的点就表示那个复数。

s平面用于描述传递函数中的自变量的变化，G平面用于描述整个频率特性表达式的变化。

辐角与相角

相角差刚好等于G的辐角，所以在计算的时候，用分子复数的辐角-分母复数的就行了。

频率特性

以传递函数 G(s) = \frac{1}{\mathrm{~T} s+1} 举例，当输入为正弦信号：

u_{r}(t)=A \sin \omega t

可计算出输出为：

u_{c}(t)=\frac{A \omega T}{1+\omega^{2} T^{2}} e^{\frac{-t}{T}}+\frac{A}{\sqrt{1+\omega^{2} T^{2}}} \sin (\omega t-\arctan \omega T)

u_{cs}(t) 分为瞬态分量和稳态分量。瞬态分量当t趋于无穷大时为0，其余的是稳态分量，我们只关心稳态分量：

u_{c}(t)=\frac{A}{\sqrt{1+\omega^{2} T^{2}}} \sin (\omega t-\arctan \omega T)

输出正弦信号的稳态分量与输入正弦信号是同频率的，只不过幅值和相角不一样。并且幅值和相角都是频率的函数，这种幅值和相角随输入频率变换的规律称为频率响应。

幅值比随频率变换的规律，称为幅频特性：

|G(j \omega)|=\frac{\left|u_{cs}(t)\right|}{|u_r(t)|}=\frac{1}{\sqrt{1+\omega^{2} T^{2}}}

相角差随频率变换的规律，称为相频特性：

\angle G(j \omega)=\angle u_{cs}(t)-\angle u_r(t)=-\arctan \omega T

幅频特性与相频特性合起来的复函数 G(j\omega) ，叫作频率特性。

巧的是，我们无需分别计算幅值比与相角差，只需把传递函数中的 s 换成 j\omega ，就得到了频率特性 G(j\omega)

G(j\omega)=\frac{1}{1+j \omega T}

开环系统幅相特性曲线的绘制（Nyquist图）

频率特性 G(j\omega) 就是一个复数，它的模就是幅值比，辐角就是相角差。我们就是要画这个复数的变化轨迹。

设开环传递函数为：

G(s)=\frac{K\left(\tau_{1} s+1\right) \cdots\left(\tau_{\mathrm{m}} s+1\right)}{s^{v}\left(\mathrm{~T}_{1} s+1\right) \cdots\left(\mathrm{T}_{\mathrm{n}-\mathrm{v}} s+1\right)}

根据复数乘除法的运算法则，很容易计算 G(j\omega) 的模和辐角，即幅值比与相角差：

|G(\omega)|=\frac{K \prod_{i=1}^{m}\left|1+\mathrm{j} \tau_{i} \omega\right|}{|\omega|^{\nu} \prod_{j=1}^{n-v}\left|1+\mathrm{j} T_{j} \omega\right|}

\angle G(\omega)=\sum_{i=1}^{m} \angle\left(1+\mathrm{j} \tau_{i} \omega\right)-v \times 90^{\circ}-\sum_{j=1}^{n-v} \angle\left(1+\mathrm{j} T_{j} \omega\right)

画图时，先计算出起点与终点，再根据变化趋势，画出大概轮廓即可。

如何判断变化趋势呢？我们可以用s平面来判断：

当 \omega 从 0 \rightarrow +\infty 变化时，因为 s=j\omega ，所以s是从0点沿着虚轴跑向正无穷的。

画出极点、零点指向s的向量，这些向量的模和辐角，刚好就是 |G(\omega)| 与 \angle G(\omega) 计算公式中所用到的。当s从0点沿着虚轴跑向正无穷变化时，这些向量的模和辐角，从而我们能够推断出 |G(\omega)| 与 \angle G(\omega) 的变化。

开环系统Bode图的绘制

设开环传递函数为：

G(s)=\frac{K\left(\tau_{1} s+1\right) \cdots\left(\tau_{\mathrm{m}} s+1\right)}{s^{v}\left(\mathrm{~T}_{1} s+1\right) \cdots\left(\mathrm{T}_{\mathrm{n}-\mathrm{v}} s+1\right)}

幅频特性曲线：

\begin{aligned} L(\omega)=& 20 \lg |G|=20 \lg \frac{K\left|1+j \tau_{1} \omega\right| \cdots\left|1+j \tau_{m} \omega\right|}{|\omega|^{v}\left|1+j T_{1} \omega\right| \cdots\left|1+j T_{n-v} \omega\right|} \\ =& 20 \lg K -20 v \lg |\omega|\\ &+20 \lg \left|1+j \tau_{1} \omega\right|+\cdots+20 \lg \left|1+j \tau_{m} \omega\right| \\ &-20 \lg \left|1+j T_{1} \omega\right|-\cdots-20 \lg \left|1+j T_{n-v} \omega\right| \end{aligned}

观察这个公式，一阶符合微分、惯性环节、在转折频率前 L(\omega) 都接近零。所以在转折频率前 L(\omega) 可以近似为：

L(\omega)= 20 \lg K -20 v \lg |\omega|

这是一条过 (1,20 \lg K) ，斜率为 -20 v 的直线。

当 \omega 逐渐增大时，每过一个转折频率， L(\omega) 就会叠加一个斜线，反映在图上就是 L(\omega) 斜率会改变。

总结一下Bode图的幅频特性绘制过程：

  1. 化G(s)为尾1标准型
  2. 顺序列出转折频率
  3. 确定基准线
  4. 叠加作图

相频特性曲线：

\varphi(\omega)=\angle G=\sum_{i=1}^{m} \angle\left(1+\mathrm{j} \tau_{i} \omega\right)-v \times 90^{\circ}-\sum_{j=1}^{n-v} \angle\left(1+\mathrm{j} T_{j} \omega\right)

相频特性曲线，就是多个角度叠加，拿圆规加一下就行了。

奈奎斯特稳定判据

设辅助函数

F(s)=1+G(s)H(s)

其中 G(s)H(s) 是开环传递函数，并且一定可以写出分数的形式，即：

F(s)=1+\frac{K^*M(s)}{N(s)}=\frac{N(s)+K^*M(s)}{N(s)}

上式中分母是开环分明，分子是开环分母+分子=闭环分母。即：

设 F(s) 在右半s平面有 \left \{\begin{aligned}Z个零点（闭环极点） \\P个极点（开环极点） \end{aligned}\right.

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当s绕奈氏路径时(绕一个半圆回到原点)，F(s)的相角变化为：

\angle F(j \omega)=-2 \pi(Z-P)=2 \pi(P-Z)

令

R=P-Z

其中R是F(s)的幅相特性曲线绕原点的圈数，P是开环传递函数右半s平面极点个数，这两个量都是已知的。于是我们就可以计算出闭环传递函数右半s平面极点个数Z:

Z=P-R

因为 F(s)=1+G(s)H(s) ，上述关于R的公式可以变为关于N的公式：

\left\{\begin{array}{l} R: s \text { 绕奈氏路径一周时, } F(j \omega) \text { 包围 }[F] \text { 平面 }(0, j 0) \text { 点的圈数 } \\ N: \text { 开环幅相曲线 } G H(j \omega) \text { 包围 }[G] \text { 平面 }(-1, j 0) \text { 点的圈数 } \end{array}\right.

即：

Z=P-2 N

Z - 在右半s平面闭环极点的个数
P - 在右半s平面开环极点的个数
N - 开环幅相特性曲线逆时针包围 (-1,j0) 点的圈数

对数稳定判据

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幅相特性曲线是否包围 (-1,j0) 点，可以等价成幅相曲线在单位圆的外边与负实轴有没有交点的问题。

在Bode图上，单位圆的外边就是幅频特性曲线大于0的部分，与负实轴有没有交点就是相频特性曲线是否越过-180°。

稳定裕度

根轨迹法可以通过极点到虚轴的远近判断闭环系统的稳定程度，频域法可以通过开环频率特性曲线到 (-1,j0) 点的距离。

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当然，开环频率特性曲线与 (-1,j0) 距离最近的点并不好找，但有两种近似的方法，比较好操作：

\left|G\left(j \omega_{c}\right)\right|=\mathbf{1}\\ \gamma=180^{\circ}+\angle G\left(j \omega_{c}\right)

\angle G\left(j \omega_{g}\right)=-180^{\circ}\\ h=\frac{1}{\left|G\left(j \omega_{g}\right)\right|}

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利用开环频率特性分析系统的性能

在最小相角系统中，幅频特性对应唯一的相频特性，此时只看幅频特性曲线就能确定系统的动态性能：

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频域校正

假设校正前系统的结构图为：

串联校正装置的传递函数为 G_0(s) ，校正后的结构图为：

系统的开环传递函数乘 G_0(s) ，在幅相特性曲线上，是原幅相特性曲线叠加校正装置的幅相特性曲线。

相角超前校正的幅相特性曲线为：

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因为该校正装置的相频特性曲线有一处凸起，我们将此处叠加到原幅相特性曲线的 \omega_c 处，这样可以极大提高系统的 \gamma ，从而改善系统动态性能。当然，附带的效果是， \omega_c 提升，抗高频干扰能力下降。

相角迟后校正的幅相特性曲线为：

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虽然相角迟后校正的相频特性曲线是凹陷的，无非利用，但是可以利用其幅频特性曲线中的后半段，与原幅相特性曲线叠加后可以将 \omega_c 提前，从而选择原相频特性曲线中 \gamma 相对较大的地方。

迟后-超前校正的幅相特性曲线为：

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它综合了相角超前校正和相角迟后校正的优点。不仅可以主动提高 \gamma ，还可以将 \omega_c 提前，从而选择原相频特性曲线中 \gamma 相对较大的地方。

PID校正的幅相特性曲线为：

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PID校正可以看作迟后-超前校正当幅频特性曲线转折点在两侧无穷远处的特例。PID校正的性能更好，不过校正装置的电路相对复杂一点。

posted @ 2024/09/19 06:45:57