复数的模和辐角

表示在复平面上为：

模就是向量的长度，辐角就是向量与实轴的夹角：

分数的模和辐角:

乘积的模和辐角：

s平面和G平面

s平面和G平面都是复平面。

s平面中的点，对应的是传递函数中的s，相当于传递函数中的自变量。

G平面中的点，对应的是频率特性，就是把整个频率特性表达式当成一个复数，G平面中的点就表示那个复数。

s平面用于描述传递函数中的自变量的变化，G平面用于描述整个频率特性表达式的变化。

辐角与相角

相角差刚好等于G的辐角，所以在计算的时候，用分子复数的辐角-分母复数的就行了。

频率特性

以传递函数举例，当输入为正弦信号：

可计算出输出为：

分为瞬态分量和稳态分量。瞬态分量当t趋于无穷大时为0，其余的是稳态分量，我们只关心稳态分量：

输出正弦信号的稳态分量与输入正弦信号是同频率的，只不过幅值和相角不一样。并且幅值和相角都是频率的函数，这种幅值和相角随输入频率变换的规律称为频率响应。

幅值比随频率变换的规律，称为幅频特性：

相角差随频率变换的规律，称为相频特性：

幅频特性与相频特性合起来的复函数，叫作频率特性。

巧的是，我们无需分别计算幅值比与相角差，只需把传递函数中的换成，就得到了频率特性

开环系统幅相特性曲线的绘制（Nyquist图）

频率特性就是一个复数，它的模就是幅值比，辐角就是相角差。我们就是要画这个复数的变化轨迹。

设开环传递函数为：

根据复数乘除法的运算法则，很容易计算的模和辐角，即幅值比与相角差：

画图时，先计算出起点与终点，再根据变化趋势，画出大概轮廓即可。

如何判断变化趋势呢？我们可以用s平面来判断：

当从变化时，因为，所以s是从0点沿着虚轴跑向正无穷的。

画出极点、零点指向s的向量，这些向量的模和辐角，刚好就是与计算公式中所用到的。当s从0点沿着虚轴跑向正无穷变化时，这些向量的模和辐角，从而我们能够推断出与的变化。

开环系统Bode图的绘制

设开环传递函数为：

幅频特性曲线：

观察这个公式，一阶符合微分、惯性环节、在转折频率前都接近零。所以在转折频率前可以近似为：

这是一条过，斜率为的直线。

当逐渐增大时，每过一个转折频率，就会叠加一个斜线，反映在图上就是斜率会改变。

总结一下Bode图的幅频特性绘制过程：

1. 化G(s)为尾1标准型
2. 顺序列出转折频率
3. 确定基准线
4. 叠加作图

相频特性曲线：

相频特性曲线，就是多个角度叠加，拿圆规加一下就行了。

奈奎斯特稳定判据

设辅助函数

其中是开环传递函数，并且一定可以写出分数的形式，即：

上式中分母是开环分明，分子是开环分母+分子=闭环分母。即：

• 的零点是闭环极点。
• 的极点是开环极点。

设在右半s平面有

当s绕奈氏路径时(绕一个半圆回到原点)，F(s)的相角变化为：

令

其中R是F(s)的幅相特性曲线绕原点的圈数，P是开环传递函数右半s平面极点个数，这两个量都是已知的。于是我们就可以计算出闭环传递函数右半s平面极点个数Z:

因为，上述关于R的公式可以变为关于N的公式：

即：

Z - 在右半s平面闭环极点的个数
P - 在右半s平面开环极点的个数
N - 开环幅相特性曲线逆时针包围点的圈数

对数稳定判据

幅相特性曲线是否包围点，可以等价成幅相曲线在单位圆的外边与负实轴有没有交点的问题。

在Bode图上，单位圆的外边就是幅频特性曲线大于0的部分，与负实轴有没有交点就是相频特性曲线是否越过-180°。

稳定裕度

根轨迹法可以通过极点到虚轴的远近判断闭环系统的稳定程度，频域法可以通过开环频率特性曲线到点的距离。

当然，开环频率特性曲线与距离最近的点并不好找，但有两种近似的方法，比较好操作：

• 用开环频率特性曲线与单位圆交点与实轴形成的夹角的大小来代替开环频率特性曲线与距离，这个夹角被称为相角裕度

• 用开环频率特性曲线与实轴交点到的距离代替开环频率特性曲线与距离，这个距离被称为幅值裕度

利用开环频率特性分析系统的性能

在最小相角系统中，幅频特性对应唯一的相频特性，此时只看幅频特性曲线就能确定系统的动态性能：

频域校正

假设校正前系统的结构图为：

串联校正装置的传递函数为，校正后的结构图为：

系统的开环传递函数乘，在幅相特性曲线上，是原幅相特性曲线叠加校正装置的幅相特性曲线。

相角超前校正的幅相特性曲线为：

相角迟后校正的幅相特性曲线为：

迟后-超前校正的幅相特性曲线为：

PID校正的幅相特性曲线为：