微积分学习笔记（三）微分的几何应用

极值点与拐点

极值点是针对自变量的，记为 x=x_0 。
拐点是一个点，记为 (x_0,y_0)

极值点左右两侧 f'(x) 异号。 f'(x) 可能等于0也可能不存在
拐点左右两侧 f''(x) 异号。 f''(x) 可能等于0也可能不存在。

函数的渐近线

铅直渐进线：
\lim_{x \rightarrow x_{0}^+} y(x)=\infty 或\lim_{x \rightarrow x_{0}^-} y(x)=\infty ，则称 x_0 为 y(x) 的铅直渐近线。

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水平渐近线：
\lim _{x \rightarrow \pm \infty} y(x)=A ，则称 y=A 为水平渐近线。

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斜渐进线：
同一方向上，斜渐进线与水平渐近线互斥。若有水平渐近线则一定没有斜渐近线。

若要有斜渐进线，说明函数当 x \rightarrow \infty 时等价于一条直线，所以：

  1. 函数必须与x同阶，即：
    \lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{y(x)}{x}=a \neq 0

  2. 函数与渐近线距离极限为0，即：
    \lim _{x \rightarrow \infty}(y(x)-(a x+b))=0

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曲率与曲率半径

曲率描述曲线的弯曲程度，当角度一定时，弧长越大曲率越小，弧长越小曲率越大，所以曲率的定义为夹角与弧长的比值：

k=\lim _{\Delta s \rightarrow 0}\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right| = |\frac{d \alpha}{d s}|

而：

y^{\prime} =\frac{d y}{d x}= \tan \alpha

\alpha=\arctan y^{\prime}

d \alpha =\frac{y^{\prime \prime}}{1+y^{\prime 2}} dx

d s =\sqrt{d x^{2}+d y^{2}} = \sqrt{1+y^{\prime 2}} d x

带入得：

k=\frac{|y^{\prime \prime}|}{\left(1+y^{\prime}\right)^{\frac{3}{2}}}

曲率半径是曲率的导数：

R = \frac{1}{k}

posted @ 2025/07/04 01:04:06