微积分学习笔记（四）中值定理

中值定理

介值定理
当 m \leq \mu \leq M ，存在 \xi \in[a, b] ，使 f(\xi)=\mu

零点定理
当 f(a) \cdot f(b)<0 时，存在 \xi \in(a, b) 使 f(\xi)=0 。

罗尔定理
设函数 f(x) 满足：1. [a, b] 连续；2. (a, b) 可导；3. f(a)=f(b)
则存在 \xi \in(a, b) 使 f'(\xi)=0 。

拉格朗日中值定理
设 f(x) 满足：1. [a, b] 连续；2. (a, b) 可导。
则存在 \xi \in(a, b) 使 f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)

柯西中值定理
设 f(x), g(x) 满足：1. [a, b] 连续；2. (a, b) 可导；3. g^{\prime}(x) \neq 0
则存在 \xi \in(a, b) ，使 \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}

题型

题型一：拉格朗日中值定理把f(x)转换成另一种形式
例：设 x>0 ，证明 \frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x ．

题型二：除法求导公式的逆用
例：设 f(x), g(x) 为恒大于零的可导函数，且 f^{\prime}(x) g(x)<f(x) g^{\prime}(x) ，则当 a<x<b 时，下列不等式恒成立的是
(A) f(a) g(x)>f(x) g(b)
(B) f(x) g(a)>f(b) g(x)
(C) f(a) g(b)>f(b) g(x)
(D) f(x) g(b)>f(b) g(x)

题型三：乘法求导公式的逆用
f^{\prime}(x)-f(x) 其实是 f(x)e^{-x} 的求导结果提了个参数

题型四：证明等式至少存在一个实根。
将等式写成 F'(x)=0 的形式。证明 F(a)=F(b) 即可。
例：设 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导 (a>0) ，证明：在 (a, b) 内

2 x[f(b)-f(a)]=\left(b^2-a^2\right) f^{\prime}(x)

至少有一个实根

posted @ 2025/07/08 23:24:10