微积分学习笔记（六）定积分

积分公式

分布积分公式（乘法求导公式的逆用）

\int u \mathrm { d } v = u v - \int v \mathrm { d } u

牛顿莱布尼茨公式

\int _ { a } ^ { b } f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a )

f ( x ) = \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } f ^ { \prime } ( t ) d t + f \left( x _ { 0 } \right)

奇偶性、周期性

求导后奇偶性：
求导一次奇偶性改变一次

积分后奇偶性：
\int_{0}^{x} f(t) d t 奇偶性改变

\int_{a}^{x} f(t) d t 则不一定。（画图x^3和x^2的图像，再画出它们积分后的图像就清楚了）
当f(x)是奇函数时， \int_{a}^{x} f(t) d t 是偶函数。
当f(x)是偶函数时， \int_{a}^{x} f(t) d t 则不一定是奇函数。(记忆方法：奇函数要求f(0)=0，比较难实现)

求导后周期性
f(x)以T为周期，f'(x)以T为周期。(函数的周期当然也是斜率周期)

积分后周期性
若f(x)以T为周期，我们可以把f(x)用傅立叶级数分解：

f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos (n \Omega t)+\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin (n \Omega t)

三角函数积分后还是三角函数，所以三角函数部分是周期函数，常数积分后就不是周期函数了。所以如果常数项为0，则f(x)积分后还是周期函数，若常数项不为0则积分后不是周期函数。因为：

\frac{a_0}{2}=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \mathrm{d} t

可推导出：

\int_{0}^{T}f(x)dx=0 \Longleftrightarrow \int_{a}^{x}f(t)dt以T为周期

posted @ 2025/07/13 00:27:17