\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} d x \qquad \begin{cases}\text { 发散 } & p \leqslant 1 \\ \text { 收敛 } & p>1\end{cases} 发 散 收 敛
\int_0^1 \frac{1}{x^p} d x \qquad \begin{cases}\text { 发散 } & p \geqslant 1 \\ \text { 收敛 } & p<1\end{cases} 发 散 收 敛
若 f(x)>g(x)>0 ，积分是面积，所以可以得出 \int_1^{+\infty} f(x) d x>\int_1^{+\infty} g(x) d x
如果 \int_1^{+\infty} g(x) d x 是无穷大（发散），那么 \int_1^{+\infty} f(x) d x 也是无穷大（发散）。 如果 \int_1^{+\infty} f(x) d x 是个数（收敛），那么 \int_1^{+\infty} g(x) d x 也是个数（收敛）。
有时候看不出大小，可以用比值判断 f(x) 与 g(x) 大小： 当 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=l 时， \int_0^1 f(x) d x 与 \int_0^1 g(x) d x 同敛散 当 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=0 时， g(x)>f(x) 当 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\infty 时， f(x)>g(x)
反常积分审敛法，要点是构造不等式。下面介绍几个常用的不等式。
当 x\rightarrow +\infty 时， e^x>x^{100} 例：判断 \int_1^{+\infty} x^3 e^{-x} d x 的敛散性
当 x\rightarrow +\infty 时， x^{0.001}>\ln x 例：判断 \int_2^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{1.001}} d x 的敛散性
当 x\rightarrow 0 时， \frac{1}{x^{0.001}}>|\ln x| 例：判断 \int_0^1 \frac{|\ln x|}{x^{0.9}} d x 的敛散性
要求记住结论，并且会证明。
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} d x=\sqrt{\pi}
\int_0^{+\infty} x^n e^{-x} d x=n!
