微积分学习笔记（七）积分的几何应用

为什么求旋转体体积时要用dx而不用ds？求旋转体侧面积时为什么用ds而不用dx？

旋转体如下：

首先我们来看求体积时的情况。求旋转体的体积的积分元素是相当于一个圆台，把微小圆台放大旋转平放如下：

发现用dx积分与真正圆台体积相差为高阶无穷小，而用ds积分与真正圆台体积相差存在不为高阶无穷小的项（该项大于0），说明用dx积分所得体积误差小，而用ds积分所得的体积会比真正旋转体体积大的多。因为ds虽然比dx大不了多少，但是ds比dx多的这一点与底面积πR^2这个比较大的数相乘也会被放大很多。

再来看求面积的情况。求旋转体面积的积分元素依旧是圆台，只不过近似关系变成了圆台侧面展开的扇环面积近似成一系列 类梯形的（圆的窄带）面积，下图是部分圆环。

可以这么理解，线ab是以f（x）为半径的圆周长。再一次近似，类梯形面积用长方形面积近似且有两种情况。一种是用dx为宽，一个是以ds为宽。以dx为宽近似类梯形的面积发现上下两个小三角形的面积就没有被算到，导致用dx为宽的近似与实际面积相比更小。而用ds为宽近似，ds比dx大一点，圆周长也不像底面积那般那么大，ds·ab不会放大太多，同时ds·ab也将比dx·ab大，多的部分用于减少两个小三角形面积所引起的误差。总的来说就是用ds积分所得面积的误差比用dx积分所得面积的误差小。相关面积计算如下