二次曲线形状的不严谨证明

先看一个方程

它的解为或，是两条直线。

再看方程：

无论如何改变参数，都不与和相交，所以它是双曲线。这两条直线是双曲线的渐近线。

把它展开可得

根据基本不等式：

二次曲线的标准方程：

对照上式子有：

变换一下有：

此时二次曲线能配成的形式，所以是双曲线。反之，说明配不成的形式，此时是椭圆。的临界情况是抛物线。

总结一下：
当时，二次曲线为双曲线。
当时，二次曲线为抛物线。
当时，二次曲线为椭圆。

当然，这是非常不严谨的证明。严谨证明需要用到线性代数中二次型的知识，毕竟二次型起源于讨论二次曲线与二次曲面的分类问题。