微积分学习笔记（九）二重积分

轮换对称性

把x写成y，y写成x，因为仅仅是换了符号，所以还是相等的：

\iint_{D_{x y}} f(x, y) d x d y=\iint_{D_{y x}} f(y, x) d y d x

此时 D_{x y} 与 D_{y x} 是不一样的，但是如果积分区域D关于y=x对称，那么 D_{x y} 与 D_{y x} 就相等了：

\iint_{D} f(x, y) d x d y=\iint_{D} f(y, x) d y d x

结论：当积分区域D关于y=x对称时，可以把被积函数的x和y互换。

二重积分中值定理

设 f(x, y) 在闭区域 D 连续， S_D 为 D 的面积，则 \exists(\xi, \eta) \in D ，使

\iint_D f(x, y) d \sigma=f(\xi, \eta) \cdot S_D

posted @ 2025/07/18 23:00:51