微积分学习笔记（十）级数

正项级数的积分审敛法

广义积分 \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} d x 的几何意义是：把面积切分成无数个宽度为dx的矩形，让后计算所有矩形的面积和。
级数 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} 的几何意义是：把面积切分成无数个宽度为1的矩形，让后计算所有矩形的面积和。

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从计算面积的角度，广义积分一定比级数准确，因为用宽度为1的矩形拟合面积，一定比原面积大或小(取决于具体函数)。但级数不是为了计算面积，它的这种离散形式，有很多计算技巧和妙用。

广义积分和级数都是用来拟合函数下的面积，如果面积无穷大，两者都发散；如果面积有限，两者都收敛。所以级数和广义积分同敛散。

等比级数

当级数刚好是等比数列，我们称为等比级数：

\sum_{n=1}^{\infty} a q^{n-1} \quad(a>0)

等比级数的值刚好是等比数列的和。

如果

\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=l

说明级数是公比为 l 的等比数列。

如果

\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=l

说明级数是公比为 l 、首项为 q 的等比数列。

幂级数

幂级数就是特殊的等比级数，所以阿贝尔定理记不住的话，可以加上绝对值用等比级数的方法求收敛域。

幂级数求和，如果没有阶乘就往 \frac{1}{1-x} 上凑。有阶乘往 e^x,\sin x,\cos x 上凑。

函数展开成幂级数就是把原始往 \frac{1}{1-x} 或 \frac{1}{1+x} 上凑，然后再写成级数的形式。

posted @ 2025/07/20 23:27:40