微分方程

微分方程中既然有导数,那么微分方程一定是由某个式子求导得来的

也就是说对微分方程积分,就可以得到原方程,从而去掉导数。如果微分方程不能直接积分去掉导数,那么原方程在求导的时候一定用到了求导公式

(uv)^{\prime} = u^{\prime}v +uv^{\prime}

因为复杂的求导公式就这么一个,所以难点在于这个公式的逆用。

一阶线性微分方程

y^{\prime}+p(x)y=q(x)

两边同乘一个\text{e}^{\int{p(x)\text{d}x}}

y^{\prime}\text{e}^{\int{p(x)\text{d}x}}+p(x)\text{e}^{\int{p(x)\text{d}x}}y=q(x)\text{e}^{\int{p(x)dx}}

等式左边其实就是乘积求导的结果:

(y\text{e}^{\int{p(x)\text{d}x}})^{\prime}=q(x)\text{e}^{\int{p(x)dx}}

则:

y=\text{e}^{-\int{p(x)\text{d}x}} \left [\int q(x)\text{e}^{\int{p(x)dx}} dx + C\right ]

二阶常系数线性微分方程

一元二次方程可以表示成:

r^{2}-\left(r_{1}+r_{2}\right) r+r_{1} r_{2}=0

r^{2}-r_{1}r-r_{2} \left(r-r_{1}\right)=0

以该方程为特征方程的二阶常系数线性微分方程是

y^{\prime \prime}-\left(r_{1}+r_{2}\right) y^{\prime}+r_{1} r_{2} y=f(x)

y^{\prime\prime}-r_{1} y^{\prime}-r_{2}  \left(y^{\prime}-r_{1} y\right)=f(x)

其中y^{\prime\prime}-r_{1} y^{\prime}可以写成(y^{\prime}-r_{1} y)^{\prime},即:

\left(y^{\prime}-r_{1} y\right)^{\prime}-r_{2}  \left(y^{\prime}-r_{1} y\right)=f(x)

这时候二阶线性微分方程其实已经变成了一阶线性微分方程。按照一阶线性微分方程的解法,两边同乘\mathrm{e}^{-r_{2} x}

\left(y^{\prime}-r_{1} y\right)^{\prime}\mathrm{e}^{-r_{2} x}-r_{2} \mathrm{e}^{-r_{2} x}\left(y^{\prime}-r_{1} y\right)=\mathrm{e}^{-r_{2} x}f(x)

\left[\mathrm{e}^{-r_{2} x}\left(y^{\prime}-r_{1} y\right)\right]^{\prime}=\mathrm{e}^{-r_{2} x}f(x)

两边积分,可得:

y^{\prime}-r_{1} y=\mathrm{e}^{r_{2} x}  \left(\int \mathrm{e}^{-r_{2} x} f(x) \mathrm{d} x\right)+C \mathrm{e}^{r_{2} x}

接下来还是解一阶线性微分方程:

y=\mathrm{e}^{r_{1} x} \left(\int \mathrm{e}^{\left(r_{2}-r_{1}\right) x} \left(\int \mathrm{e}^{-r_{2} x} f(x) \mathrm{d} x\right) \mathrm{d} x\right)+C_{1} \mathrm{e}^{r_{2} x}+C_{2} \mathrm{e}^{r_{1} x}

这个结果的最后两项之和就是齐次线性方程的通解,而第一项就是非齐次方程的特解。

对于涉及复数的情况,解法大致相同,只是最后多了用欧拉公式代换一下的步骤。

用公式求解二阶微分方程

对于齐次方程y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0,通解如下:

\begin{array}{cl}r_{1}, r_{2}  &y=C_{1} e^{r_{1} x}+C_{2} e^{r_{2} x}\\
r_{1}=r_{2} &y=\left(C_{1} x+C_{2}\right) e^{r x}\\
r_{1}, r_{2}=\alpha \pm \beta x & y=(C_1 \cos \beta x+C_2 \sin \beta x) e^{\alpha x}\end{array}

对于非齐次方程y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=P(x) e^{k x},通解y=特解+齐次方程的通解,预设特解y_0

\begin{array}{}k 非特征值 \quad &y_{0} =Q(x) e^{k x}\\
k 与一个特征值相同\quad &y_{0}=x Q(x) e^{k n}\\
k 与两个特征值相同\quad &y_{0}=x^{2} Q(x) e^{k x}
\end{array}

其中Q(x)是与P(x)的一般形式。例如P(x)=x+1,则Q(x)=ax+b。将y_0代入微分方程即可求出特解的参数

对于非齐次方程y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=e^{\alpha x}\left[P_{l}(x) \cos \beta x+P_{s}(x) \sin \beta x\right]

\begin{array}{}若\alpha +i \beta不是特征值 &y_{0}=e^{\alpha x}\left[Q_{n}^{(1)}(x) \cos \beta x+Q_{n}^{(2)}(x) \sin \beta x\right]\\
若\alpha +i \beta是特征值 & y_{0}=xe^{\alpha x}\left[Q_{n}^{(1)}(x) \cos \beta x+Q_{n}^{(2)}(x) \sin \beta x\right]\end{array}

其中Q_{n}(x)P_{l}(x)P_{s}(x)次数高的那个式子的一般化,例如P_{l}(x)=2x,P_{s}(x)=3,则Q_{n}^{(1)}(x)=ax+b,Q_{n}^{(2)}(x)=cx+d。将y_0代入微分方程即可求出参数。

可降阶


可降阶\left\{\begin{array}{lll}
y^{(y)}=f(x)&多次积分即可\\
f\left(x, y^{\prime}, y^{\prime \prime}\right)=0 \quad(缺y)&令y^{\prime}=p,则y^{\prime \prime}=\frac{dp}{dx}\\
f\left(y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}\right)=0 \quad(缺x) &令y^{\prime}=p,则y^{\prime \prime}=p\frac{dp}{dy}\\
\end{array}\right.

全微分方程

微分方程是一元的,全微分方程是多元的,形式如下:

\mathrm{d} u=P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y

全微分方程通常都是一阶的,只需要一次还原即可求解。
第一种方法,如果你能看出来是这个式子是什么求导的结果,那最好,这就是所谓的凑微分法。
第二种方法,类比莱布尼茨公式,原函数是导数的积分f ( x ) - f \left( x _ { 0 } \right) = \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } f ^ { \prime } ( t ) d t而二阶原函数是全微分的积分u ( x , y ) - u ( x_ { 0 } , y_ { 0 })= \int _ { \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right) } ^ { ( x , y ) } P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y这是第二类曲线积分,而且天生的积分与路径无关,所以可以选一个简单的路径直接代入计算你会发现( x_ { 0 } , y_ { 0 })的取值不同只改变常数。我们算出特解后会加个常数C,所以u ( x_ { 0 } , y_ { 0 })的取值无关紧要。

关于\int \frac{1}{x} dx何时不需要加绝对值

两种情况\int \frac{1}{x} dx不需要加绝对值:

posted @ 2021-06-09 19:37:34
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