微分方程

线性微分方程的定义

形如:

a_{n}(x) y^{(n)}+a_{n-1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+a_{1}(x) y^{\prime}+a_{0}(x)=\varphi(x)

称成为n阶线性微分方程。如果方程右边是0,则称该方程是齐次的,否则称为非齐次的。

特别的,对于:

a(x) y^{\prime}+b(x) y=c(x)

称为一阶线性微分方程。对于一阶线性微分方程,我们习惯将y^{\prime}前面的系数化为1:

y^{\prime}+p(x)y=q(x)

称为一阶线性微分方程的标准形式。

线性微分方程的叠加原理

线性微分方程的线性是什么意思?线性就指满足叠加原理,满足叠加原理就是线性的。

L(ay_1+by_2)=aL(y_1)+bL(y_2)

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n阶齐次线性微分方程解的结构

对于n阶齐次线性微分方程:

a_{n}(x) y^{(n)}+a_{n-1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+a_{1}(x) y^{\prime}+a_{0}(x)=0

他的通解为:

y(x)=C_1g_1(x)+C_2g_2(x)+...+C_ng_n(x)

其中g_1(x),g_2(x),...,g_n(x)为它的n个线性无关的解,C_1,C_2,...,C_n为任意常数。

n维线性微分方程的解集合就是一个n维的线性空间。

一阶线性微分方程的解法

对于一阶线性微分方程,我们可以看成是由某个式子求导得来的

复杂的求导公式就这么一个:

(uv)^{\prime} = u^{\prime}v +uv^{\prime}

于是解一阶线性微分方程就相当于将这个求导公式逆用。

y^{\prime}+p(x)y=q(x)

两边同乘一个\text{e}^{\int{p(x)\text{d}x}}

y^{\prime}\text{e}^{\int{p(x)\text{d}x}}+p(x)\text{e}^{\int{p(x)\text{d}x}}y=q(x)\text{e}^{\int{p(x)dx}}

等式左边其实就是乘积求导的结果:

(y\text{e}^{\int{p(x)\text{d}x}})^{\prime}=q(x)\text{e}^{\int{p(x)dx}}

则:

y=\text{e}^{-\int{p(x)\text{d}x}} \left [\int q(x)\text{e}^{\int{p(x)dx}} dx + C\right ]

二阶齐次常系数线性微分方程的通解

对于齐次方程y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0,通解如下:

\begin{array}{cl}r_{1}, r_{2}  &y=C_{1} e^{r_{1} x}+C_{2} e^{r_{2} x}\\
r_{1}=r_{2} &y=\left(C_{1} x+C_{2}\right) e^{r x}\\
r_{1}, r_{2}=\alpha \pm \beta x & y=(C_1 \cos \beta x+C_2 \sin \beta x) e^{\alpha x}\end{array}

二阶非齐次常系数线性微分方程的特解

非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解,上文已给出齐次方程的通解的求法,所以我们还需要计算非齐次方程的特解。

微分算子法?快拉倒吧,死记方法不懂原理根本记不住。

等学完自控直接用拉普拉斯变换解

可降阶的微分方程


可降阶\left\{\begin{array}{lll}
y^{(y)}=f(x)&多次积分即可\\
f\left(x, y^{\prime}, y^{\prime \prime}\right)=0 \quad(缺y)&令y^{\prime}=p,则y^{\prime \prime}=\frac{dp}{dx}\\
f\left(y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}\right)=0 \quad(缺x) &令y^{\prime}=p,则y^{\prime \prime}=p\frac{dp}{dy}\\
\end{array}\right.

拉普拉斯变换解微分方程

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posted @ 2021-06-09 19:37:34
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