线性微分方程的叠加原理

线性微分方程的线性是什么意思？线性就指满足叠加原理，满足叠加原理就是线性的。

n阶齐次线性微分方程解的结构

对于n阶齐次线性微分方程：

他的通解为：

其中为它的n个线性无关的解，为任意常数。

n维线性微分方程的解集合就是一个n维的线性空间。

对于一阶线性微分方程，我们可以看成是由某个式子求导得来的。

复杂的求导公式就这么一个：

于是解一阶线性微分方程就相当于将这个求导公式逆用。

两边同乘一个：

等式左边其实就是乘积求导的结果:

则：

对于齐次方程，通解如下：

对于不是常系数的二阶微分方程，可尝试降阶：

非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解

用待定系数法求特解计算量太大，我在另一篇文章中介绍了微分算子法。